科目： 来源： 题型：解答题

科目： 来源： 题型：填空题

15．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=3，P是AB上的一动点，PE⊥AC于E，沿PE将∠A折叠，点A的对应点为D，若△BPD是直角三角形，则PA=2或4．

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14．如图①所示，在平面直角坐标系xoy中，Rt△AOB的直角边OB，OA分别在x轴上和y轴上，其中OA=2，OB=4，现将Rt△AOB绕着直角顶点O按顺时针方向旋转90°得到△COD，已知一抛物线经过C，D，B三点，直线EF为抛物线的对称轴，E为顶点．
（1）求这条抛物线的解析式和E点坐标；
（2）在（1）的条件下，如图②，点P是CE上一个动点，P′是P关于EF的对称点，连接PF，过P′作P′G∥PF交x轴于G，设S_{四边形FPP′G}=y，FG=x，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；
（3）如图③在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使△BDQ成为以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB＞AC，射线AM平分∠BAC．
（1）设AM交BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF．有以下三种“判断”：
判断1：AD垂直平分EF．
判断2：EF垂直平分AD．
判断3：AD与EF互相垂直平分．
你同意哪个“判断”？简述理由；
（2）若射线AM上有一点N到△ABC的顶点B，C的距离相等，连接NB，NC．
①请指出△NBC的形状，并说明理由；
②当AB=11，AC=7时，求四边形ABNC的面积．

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12．如图，直线l：y=-3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax²-2ax+a+4（a＜0）经过点B．
（1）求a的值，并写出抛物线的表达式；
（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；
（3）经直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′，当直线l′与直线AM′重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l′与线段BM′交于点C，设B、M′到直线l′的距离分别为d₁、d₂，当d₁+d₂最大时，请直接写出此时AC的值．

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10．定义：三角形一边的中线与这边上的高线之比称为这边上的中高比．
（1）直接写出等腰直角三角形腰上的中高比为$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
（2）已知一个直角三角形一边上的中高比为5：4，求它的最小内角的正切值．
（3）如图，已知函数y=$\frac{1}{10}$（x+4）（x-m）与x轴交于A、B两点，与y轴的负半轴交于点C，对称轴与x的正半轴交于点D，若△ABC中AB边上的中高比为5：4，求m的值．

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8．定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
请解决下列问题：
（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且BN＞MN＞AM．若AM=2，MN=3，求BN的长；
（2）如图2，若点F、M、N、G分别是AB、AD、AE、AC边上的中点，点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE＞BD，求证：点M，N是线段FG的勾股分割点．

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