15．如图，P₁、P₂（P₂在P₁的右侧）是y=$\frac{k}{x}$（k＞0）在第一象限上的两点，点A₁的坐标为（2，0）．
（1）填空：当点P₁的横坐标逐渐增大时，△P₁OA₁的面积将减小（减小、不变、增大）
（2）若△P₁OA₁与△P₂A₁A₂均为等边三角形，
①求反比例函数的解析式；
②求出点P₂的坐标，并根据图象直接写在第一象限内，当x满足什么条件时，经过点P₁、P₂的一次函数的函数值大于反比例函数y=$\frac{k}{x}$的函数值．

14．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为P，BP：PA=1：3，CD=2$\sqrt{3}$．
（1）求⊙O的半径；
（2）以CD为边作正方形CDEF，以C为圆心，CF的长为半径画弧交CB的延长线于点M，CB的延长线交DE于点N．
①求阴影部分的面积；
②连接OD，请猜想四边形OBND的形状，并证明你的猜想；
③若正方形CDEF绕着点O旋转一周，求边EF扫过的面积．

13．如图，抛物线C₁：y₁=ax²+2ax（a＞0）与x轴交于点A，顶点为点P．
（1）直接写出抛物线C₁的对称轴是直线x=-1，用含a的代数式表示顶点P的坐标（-1，-a）；
（2）把抛物线C₁绕点M（m，0）旋转180°得到抛物线C₂（其中m＞0），抛物线C₂与x轴右侧的交点为点B，顶点为点Q．
①当m=1时，求线段AB的长；
②在①的条件下，是否存在△ABP为等腰三角形，若存在请求出a的值，若不存在，请说明理由；
③当四边形APBQ为矩形时，请求出m与a之间的数量关系，并直接写出当a=3时矩形APBQ的面积．

12．在正方形ABCD中，点P在射线AB上，连结PC，PD，M，N分别为AB，PC中点，连结MN交PD于点Q．
（1）如图1，当点P与点B重合时，求∠QMB的度数；
（2）当点P在线段AB的延长线上时．
①依题意补全图2
②小聪通过观察、实验、提出猜想：在点P运动过程中，始终有QP=QM．
小聪把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
想法1延长BA到点E，使AE=PB．要证QP=QM，只需证△PDA≌△ECB．
想法2：取PD中点E，连结NE，EA．要证QP=QM只需证四边形NEAM是平行四边形．
想 法3：过N作NE∥CB交PB于点E，要证QP=QM，只要证明△NEM∽△DAP．
…
请你参考上面的想法，帮助小聪证明QP=QM．（一种方法即可）

11．如图，在⊙O的内接六边形ABCDEF中，∠A+∠C=220°，则∠E=140°．

10．抛物线y=ax²+c与x轴交于A、B两点，顶点为C，点P在抛物线上，P（1，-3），B（4，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若F为x轴上一点，且FO=OP，求点F的坐标；
（3）若D是抛物线上一点，满足∠DPO=∠POB，求点D的坐标．

9．在平面直角坐标系中，一次函数y=x+3的图象与x轴交于点A，二次函数y=x²+mx+n的图象经过点A．
（1）当m=4时，求n的值；
（2）设m=-2，当-3≤x≤0时，求二次函数y=x²+mx+n的最小值；
（3）当-3≤x≤0时，若二次函数-3≤x≤0时的最小值为-4，求m、n的值．

8．【问题情境】
如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．求证：AM=AD+MC．

【探究展示】
（2）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，试判断AM=AD+MC是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；
【拓展延伸】
（3）若（2）中矩形ABCD两边AB=6，BC=9，求AM的长．

7．如图，河的两岸m与n互相平行，A、B、C是m上的三点，P、Q是n上的两点，在A处测得∠QAB=30°，在B处测得∠QBC=60°，在C处测得∠PCB=45°，已知AB=BC=20米，求PQ的长（结果保留根号）．

6．矩形ABCD中，AB=12，BC=9，点M从点A出发，沿AB方向在线段AB上以2个单位长度每秒的速度运动，以点M为圆心，MA长为半径画圆，过点M作NM⊥AB，交⊙M于点N，设运动时间为t秒．
（1）如图1，当⊙M与BD相切时，
①求t的值；
②求△CDN的面积．
（2）如图2，若点N在矩形ABCD内部，且当∠CND=90°时，求t的值．