10．已知，如图，点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，AB⊥BE，垂足为B，DE⊥BE，垂足为E，且AC=DF，BF=CE，求证：∠A=∠D．

9．如图，已知△BOC是等腰三角形并且∠A=∠D．求证：AB=DC．

8．我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．请你利用重心的概念完成如下问题：
（1）如图1，若O是△ABC的重心，连结AO并延长交BC于D，证明：$\frac{AO}{AD}$=$\frac{2}{3}$
（2）如图2，若O是△ABC的重心，若AB=5，点G从A出发，在AB边上以每秒一个单位的速度向B运动，运动时间为t秒，连GO，直线GO交直线AC与H点（G、H均不与△ABC的顶点重合）．
①求$\frac{GO}{OH}$（用含有t的式子表示）
②若G、H分别在边AB、AC上，S_{四边形BCHG}，S_△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，直接写出$\frac{{{S_{四边形BCHG}}}}{{{S_{△AGH}}}}$的最大值．

7．观察下列各式：
$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$；
$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$；
$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$；
…
（1）根据你发现的规律，计算：$\frac{1}{2013×2014}$=$\frac{1}{2013}$-$\frac{1}{2014}$；
（2）计算：（-$\frac{1}{1×2}$）+（-$\frac{1}{2×3}$）+（-$\frac{1}{3×4}$）+…（-$\frac{1}{99×100}$）．

6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒2个单位长度．当t=$\frac{5}{2}$或3或3.6时，△CBD是等腰三角形．

5．如图，菱形ABCD的边长为48cm，∠A=60°，动点P从点A出发，沿着线路AB-BD做匀速运动，动点Q从点D同时出发，沿着线路DC-CB-BA做匀速运动．
（1）求BD的长；
（2）已知动点P、Q运动的速度分别为8cm/s、10cm/s．经过12秒后，P、Q分别到达M、N两点，若按角的大小进行分类，请问△AMN是哪一类三角形，并说明理由；
（3）设问题（2）中的动点P、Q分别从M、N同时沿原路返回，动点P的速度不变，动点Q的速度改变为a cm/s，经过3秒后，P、Q分别到达E、F两点，若△BEF与问题（2）中的△AMN相似，试求a的值．

4．如图，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是$\widehat{AE}$的中点，OM交AC于点D，∠BOE=60°，cosC=$\frac{1}{2}$，BC=2$\sqrt{3}$，则MD的长度为（　　）

A．

$\frac{1}{2}$

B．

$\frac{3}{2}$

C．

2

D．

$\sqrt{3}$

3．已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D为AB中点，∠EDF=90°，且∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．
（1）当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC时（图1），求证：${S_{△DEF}}+{S_{△CEF}}=\frac{1}{2}{S_{△ABC}}$．
（2）当∠EDF绕D点旋转到DE与AC不垂直．
①当两边与AC、BC相交时，（如图2），上述结论是否还会成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．
②当两边与AC、BC的延长线相交时，（如图3），上述结论是否还会成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明S_△DEF、S_△CEF、S_△ABC之间的关系．（不需证明，直接回答即可）

2．图1是以AB为直径的半圆形纸片，AB=4cm，沿着垂直于AB的半径OC剪开，将扇形OAC沿AB方向平移至扇形O′A′C′，OC交弧A′C′于点D，O′C′交弧BC于点E，设AA′=x；
（1）如图2，当O′是OB的中点时，写出阴影部分的面积S=2cm²；弧BE的长为$\frac{2π}{3}$cm；
（2）探究：
①连接DE，当x为何值时，四边形DOO′E是正方形，并证明你的结论；
②当x=1时，四边形DOO′E的面积等于$\sqrt{3}$cm²；
③设弧BC与弧A′C′相交于点F，连接OF，是否存在这样的x，使OF与弧A′C′相切？若存在，直接写出x的值；若不存在，请说明理由．

1．已知：矩形ABCD中，M为BC边上一点，AB=BM=10，MC=14，如图1，正方形EFGH的顶点E和点B重合，点F、G、H分别在边AB、AM、BC上．如图2，P为对角线AC上一动点，正方形EFGH从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿BC向点C匀速移动；同时，点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿CA向点A匀速移动．当点F到达线段AC上时，正方形EFGH和点P同时停止运动．设运动时间为t秒，解答下列问题：
（1）在整个运动过程中，当点F落在线段AM上和点G落在线段AC上时，分别求出对应t的值；
（2）在整个运动过程中，设正方形EFGH与△AMC重叠部分面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围；
（3）在整个运动过程中，是否存在点P，使△DPG是以DG为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．