19．如图，在Rt△AOB中∠ABO=90°，点B在x轴上，点C（1，m）为OA的中点，一反比例函数的图象经过点C，交AB于点D．
（1）求点D的坐标（用含m的式子表示）；
（2）连接OD，若OD平分∠AOB，求反比例函数的解析式．

18．（1）如图1，若AB∥CD，将点P在AB、CD内部，∠B，∠D，∠P满足的数量关系是∠BPD=∠B+∠D，并说明理由．
（2）在图1中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图2，利用（1）中的结论（可以直接套用），求∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系？
（3）科技活动课上，雨轩同学制作了一个图（3）的“飞旋镖”，经测量发现∠PAC=30°，∠PBC=35°，他很想知道∠APB与∠ACB的数量关系，你能告诉他吗？说明理由．

16．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）C（8，0）D（8，8）抛物线y=ax²+bx过A，C两点，动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，过点P作PE⊥AB交AC于点E
（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式．
（2）过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G，当t为何值时，线段EG最长？
（3）连接EQ，在点P，Q运动的过程中，是否存在某个时刻，使得以C，E，Q为顶点的△CEQ为等腰三角形？如果存在，请直接写出相应的t值；如果不存在，请说明理由．

15．△ABC中，AB=AC，取BC的中点D，做DE⊥AC与点E，取DE的中点F，连接BE，AF交于点H．
（1）如图1，如果∠BAC=90°，那么∠AHB=90°，$\frac{AF}{BE}$=$\frac{1}{2}$；
（2）如图2，如果∠BAC=60°，猜想∠AHB的度数和$\frac{AF}{BE}$的值，并证明你的结论；
（3）如果∠BAC=α，那么$\frac{AF}{BE}$=$\frac{1}{2}$tan（90°-$\frac{1}{2}$α）．（用含α表达式表示）

14．【问题情境】反比例函数y=$\frac{2}{x}$和y=$\frac{8}{x}$在平面直角坐标系xOy第一象限的图象如图所示，点A在y=$\frac{8}{x}$的图象上，AB∥y轴，与y=$\frac{2}{x}$的图象交于点B，AC、BD与x轴平行，分别与y=$\frac{2}{x}$、y=$\frac{8}{x}$的图象交于点C、D．点A、B、C、D的纵坐标分别记为y_A、y_B、y_C、y_D，记点A的横坐标为m（m＞0）．
【特例探究】
填空：当m=1时，y_A=8，S_△ABC=$\frac{9}{4}$；
当m=2时，y_C=4，S_△ABD=9．
【归纳说明】
对任意m（m＞0），猜想梯形的面积的大小是否发生变化，若不发生变化，请求出它的面积，若发生变化，请说明理由．
【扩展应用】
（1）直接写出△OBC的面积；
（2）直接写出S_△AFC：S_△BDF=1：16．

13．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．l955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票图1所示．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在如图2的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR使得∠R=90°，点H在边QR上，点D，E在边PR上，点G，F在边PQ上，则RQ=7+2$\sqrt{3}$，△PQR的周长等于27+13$\sqrt{3}$．

12．如图，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B点左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线x=$\frac{1}{2}$，OA=2，OD平分∠BOC交抛物线于点D（点D在第一象限）；
（1）求抛物线的解析式和点D的坐标；
（2）点M是抛物线上的动点，在x轴上存在一点N，使得A、D、M、N四个点为顶点的四边形是平行四边形，求出点M的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BPD的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

11．抛物线y=x²+bx+c与x轴交于点A（-1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，-3），顶点为D，点M是抛物线上任意一点．
（1）求抛物线解析式；
（2）在抛物线对称轴右侧的图象上有一点M，且满足∠AMC=∠MCD，求出点M的坐标；
（3）抛物线对称轴上是否存在一点N，使以B、N、C为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（-1，0）和点B（1，0），直线y=2x-1与y轴交于点C，与抛物线交于点C、D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点A到直线CD的距离；
（3）在平面直角坐标系中，是否存在点P使P、C、D为顶点、CD为底边的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的P点的坐标．