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7．如图，点A，B，C在一个已知圆上，通过一个基本的尺规作图作出的射线AP交已知圆于点D，直线OF垂直平分AC，交AD于点O，交AC于点E，交已知圆于点F．
（1）若∠BAC=50°，则∠BAD的度数为25°，∠AOF的度数为65°；
（2）若点O恰为线段AD的中点．
①求证：线段AD是已知圆的直径；
②若∠BAC=80°，AD=6，求弧DC的长；
③连接BD，CD，若△AOE的面积为S，则四边形ACDB的面积为8S．（用含S的代数式表示）

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6．如图，AB为⊙O直径，C为圆上一点，AC=2，BC=4，E为直径AB上一动点（不与点A、B重合），CE延长线交⊙O于D，PC⊥CD交DB延长线于点P．
（1）求证：△ABC∽△DPC；
（2）当CD⊥AB时，求CP的长；
（3）CP长是否存在最大值？若存在，求出CP的最大值；若不存在，说明理由．

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5．（1）探究：如图1和2，四边形ABCD中，已知AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF=45°．
①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，则能证得EF=BE+DF，请写出推理过程；
②如图2，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足数量关系∠B+∠D=180°时，仍有EF=BE+DF；
（2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2$\sqrt{2}$，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．若BD=1，求DE的长．

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3．在平面坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A₁，作正方形A₁B₁C₁C，延长C₁B₁交x轴于点A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁，…按这样的规律进行下去，第2012个正方形的面积为5•（$\frac{3}{2}$）⁴⁰²²．

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2．（1）操作发现：
将等腰Rt△ABC与等腰Rt△ADE按如图1方式叠放，其中∠ACB=∠ADE=90°，点D，E分别在AB，AC边上，M为BE的中点，连结CM，DM．小明发现CM=DM，你认为正确吗？请说明理由．
（2）思考探究：
小明想：若将图1中的等腰Rt△ADE绕点A沿逆时针方向旋转一定的角度，上述结论会如何呢？为此进行以下探究：
探究一：将图1中的等腰Rt△ADE绕点A沿逆时针方向旋转45°（如图2），其他条件不变，发现结论CM=DM依然成立．请你给出证明．
探究二：将图1中的等腰Rt△ADE绕点A沿逆时针方向旋转135°（如图3），其他条件不变，则结论CM=DM还成立吗？请说明理由．

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1．如图，已知△ABD为⊙O的内接正三角形，AB=2$\sqrt{7}$，E、F分别为边AD、AB上的动点，且AE=BF，DF与BE相交于G点，过B点作BC∥DF交$\widehat{BD}$于点C，连接CD．
（1）求∠BCD的度数；
（2）求证：四边形BCDG为平行四边形；
（3）连接CG，当CG与△BCD的一边垂直时，求CG的长度．

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20．如图，四边形ABCD是菱形，点E为对角线AC上一点，连接DE并延长交AB延长线于点F．连接CF、BD、BE
（1）求证：∠AFD=∠EBC；
（2）若E为△BCD的重心，求∠ACF的度数．

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19．如图，在矩形ABCD中，AB=13cm，AD=4cm，点E、F同时分别从D、B两点出发，以1cm/s的速度沿DC、BA向终点C、A运动，点G、H分别为AE、CF的中点，设运动时间为t（s）．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形．
（2）填空：
①当t为$\frac{13}{2}$s时，四边形EGFH是菱形；
②当t为8或$\frac{2}{3}$s时，四边形EGFH是矩形．

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18．如图所示，已知∠α，∠β，且∠α，∠β均为锐角，求∠AOB，使它等于∠α与∠β的和．