16．如图，已知在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点E是线段AD边上的任意一点（不含端点A、D），连接BE、CE．
（1）若a=5，sin∠ACB=$\frac{5}{13}$，解答下列问题：
①填空：b=12；
②当BE⊥AC时，求出此时AE的长；
（2）设AE=x，试探索点E在线段AD上运动过程中，使得△ABE与△BCE相似时，求a，b应满足什么条件，并求出此时x的值．

15．如图①在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A．B重合），分别连接ED．EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．
【试题再现】如图②，在△ABC中，∠ACB=90°，直角顶点C在直线DE上，分别过点A，B作AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E．求证：△ADC∽△CEB．
【问题探究】在图①中，若∠A=∠B=∠DEC=40°，试判断点E是否四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；
【深入探究】如图③，AD∥BC，DP平分∠ADC，CP平分∠BCD交DP于点P，过点P作AB⊥AD于点A，交BC于点B．
（1）请证明点P是四边形ABCD的边AB上的一个强相似点；
（2）若AD=3，BC=5，试求AB的长；

14．如图1，在四边形ABCD的AB边上任取一点E（点E不与点A、点B重合，分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成3个三角形．如果其中有2个三角形相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的相似点；如果这3个三角形都相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的强相似点．
（1）若图1中，∠A=∠B=∠DEC=50°，证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点．
（2）①如图2，画出矩形ABCD的AB边上的一个强相似点．（要求：画图工具不限，不写画法，保留画图痕迹或有必要的说明）
②对于任意的一个矩形，是否一定存在强相似点？如果一定存在，请说明理由；如果不一定存在，请举出反例．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠B=90°，点E是四边形ABCD的AB边上的一个强相似点，判断AE与BE的数量关系并说明理由．

13．【阅读理解】
如图1，在△ABC中，AD平分，求证：$\frac{AB}{BD}$=$\frac{AC}{CD}$．
小明在证明此题时，想通过证明三角形相似来解决，但发现图中无相似三角形，于是过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E，构造△EBD∽△ACD，达到证明$\frac{AB}{BD}$=$\frac{AC}{CD}$的目的．
（1）请完成小明的证明过程．
【应用结论】
（2）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，∠BAD=α，sinα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，AB=12．
①求线段BD的长度．
②求线段CD的长度和sin2α的值．
小明分析：由（1）知$\frac{AC}{CD}$=$\frac{AB}{BD}$，设CD=t，则AC=$\frac{AB}{BD}$t，解Rt△ABC可得结论．请你写出解答．

12．问题提出：数学课本上有这样一道题目：如图①，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
初步思考：
（1）试计算出正方形零件的边长；
深入探究：
（2）李华同学通过探究发现如果要把△ABC按照图②加工成三个相同大小的正方形零件，△ABC的边BC与高AD需要满足一定的数量关系．则这一数量关系是：AD=BC．（直接写出结论，不用说明理由）；
（3）若△ABC可以按照图③加工成四个大小相同的正方形，且∠B=30°，求证：AB=BC．

11．如图，折叠矩形ABCD的一边AD使点D落在BC边上的E处，已知折痕AF=10cm，且tan∠FEC=$\frac{3}{4}$．
（1）求矩形ABCD的面积；
（2）利用尺规作图求作与四边形AEFD各边都相切的⊙O的圆心O（只须保留作图痕迹），并求出⊙O的半径．

10．如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点，正方形的边长为4，EF⊥DE交BC于点F．
（1）求证：△ADE∽△BEF；
（2）AE=x，BF=y．当x取什么值时，y有最大值？并求出这个最大值；
（3）已知D、C、F、E四点在同一个圆上，连接CE、DF，若sin∠CEF=$\frac{3}{5}$，求此圆直径．

9．如图，在平面直角坐标系中，直角梯形ABCD的直角顶点D与原点重合，另一直角顶点A在y轴的正半轴上，点B、C的坐标分别为B（12，8）、C（14，0），AD为⊙E的直径．点M、N分别从A、C两点同时出发做匀速运动，其中点M沿AB向终点B运动，速度为每秒1个单位；点N沿CD向终点D运动，速度为每秒3个单位．当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．
（1）设点M、N的运动时间为t秒，当t为何值时，四边形MBCN为平行四边形？
（2）在（1）的条件下，连结DM与⊙E相交于点P，求弦DP的长；
（3）在运动过程中，是否存在使直线MN与⊙E相切的情形？如果存在，请求出直线MN．如果不存在，请说明理由．

8．已知二次函数图象的顶点坐标为（0，1），且过点（-1，$\frac{5}{4}$），直线y=kx+2与y轴相交于点P，与二次函数图象交于不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（1）直接写出二次函数的解析式y=$\frac{1}{4}$x²+1．
（2）对（1）中的二次函数，当自变量x取值范围在-1＜x＜3时，求其函数值y的取值范围；
（3）求证：在此二次函数图象下方的y轴上，必存在点G，使△ABG的内切圆的圆心落在y轴上，并求△GAB面积的最小值．

7．如图，在△ABC中，点D为BC边的中点，以点D为顶点的∠EDF的两边分别与边AB，AC交于点E，F，且∠EDF与∠A互补．
（1）如图1，若AB=AC，且∠A=90°，则线段DE与DF有何数量关系？请直接写出结论；
（2）如图2，若AB=AC，那么（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，若AB：AC=m：n，探索线段DE与DF的数量关系，并证明你的结论．