科目： 来源： 题型：解答题

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2．已知在△ABC中，∠A=3∠C，∠ADB=45°，D为AC的中点，求证：∠ABC=90°．

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1．如图，△ABC中，点D在AB边上，AD=CD，点E在CD上，∠ABC+∠AEC=180°，图中是否存在与BC相等的线段？若存在，请找出，并加以证明，若不存在，请说明理由．

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20．如图1，给定锐角三角形ABC，小明希望画正方形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上，他发现直接画图比较困难，于是他先画了一个正方形HIJK，使得点H，I位于射线BC上，K位于射线BA上，而不需要求J必须位于AC上．这时他发现可以将正方形HIJK通过放大或缩小得到满足要求的正方形DEFG．
阅读以上材料，回答小明接下来研究的以下问题：
（1）如图2，给定锐角三角形ABC，画出所有长宽比为2：1的长方形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上．
（2）已知三角形ABC的面积为36，BC=12，在第（1）问的条件下，求长方形DEFG的面积．

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19．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC⊥BC，BE平分∠ABC，交CD于点E，且与AC交于点F．过点C作CG1AB于点G，CG与BE交于点H，点I在线段AC上，且HI∥AB．求证：
（1）△BCH≌△ECF；
（2）AI=FC．

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18．如图，已知抛物线y=-$\frac{1}{4}{x^2}$+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知B点的坐标为B（8，0）．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴方程．
（2）连接AC、BC，试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由．
（3）在抛物线上BC之间是否存在一点D，使得△DBC的面积最大？若存在请求出点D的坐标和△DBC的面积；若不存在，请说明理由．

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17．如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），C（b，2），且满足$（a+4{）^2}+\sqrt{b-4}=0$，过C作CB⊥x轴于B．

（1）求△ABC的面积．
（2）在y轴上是否存在点P，使得△ABC和△ACP的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若过B作BD∥AC交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，如图2，求∠AED的度数．

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15．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则图中的三个直角三角形（△ABC、△ACD、△BCD）的内切圆半径的和等于（　　）

A．

CD

B．

BC

C．

AC

D．

AB

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14．如图1，在直角坐标系中，A（0，a），C（c，0），其中a，c满足c=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-4}+\sqrt{4-{a}^{2}}+24}{a+2}$，过A作AB⊥AC，且AB=AC．
（1）求B点坐标；
（2）如图1，AB交x轴于E，在x轴上存在点D，使△AED为等腰三角形，求D点坐标；
（3）如图2，B，E关于y轴对称，A，F关于x轴对称，连CF，AE交于M，连BE交y轴于H，连MH，求∠HMF的度数；
（4）如图3，连BC，交y轴于G，N为BC中点，求$\frac{NC}{NG}$的值．