14．探究问题：
（1）方法感悟：
如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．
感悟解题方法，并完成下列填空：
证明：延长CB到G，使BG=DE，连接AG，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠D=90°，
∴∠ABG=∠D=90°，
∴△ADE≌△ABG．
∴AG=AE，∠1=∠2；
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠3=45°．
即GAF=∠FAE．
又AG=AE，AF=AF，
∴△GAF≌△EAF．
∴FG=EF，
∵FG=FB+BG，
又BG=DE，
∴DE+BF=EF．
变化：在图①中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系AM=AB；
（2）方法迁移：

如图②，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E，F分别是BC，CD边上的点，∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M，试猜想DF，BE，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．试猜想AM与AB之间的数量关系，并证明你的猜想．
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC，BC上的点，满足∠EAF=$\frac{1}{2}$∠DAB，试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．猜想：∠B与∠D满足关系：∠B+∠D=180°．

13．如图，四边形ABCD中，AB=DC，AB∥DC，延长AD到E，延长CB到F，使DE=BF，猜想BE与DF的关系，并证明你的结论．

12．如图，在△ABD和△ACE中，AB=AC，有下列三个等式：
①AD=AE；②BD=CE；③∠1=∠2
请你以其中两个等式作为题设，余下的一个作为结论，写出一个命题，如果你写的命题是真命题，请证明：若果你写的命题是假命题，请举出一个反例．
已知：如图，在△ABD和△ACE中，AB=AC，AD=AE，BD=CE．求证∠1=∠2．

11．如图，已知抛物线y=ax²+c经过A（0，-1）和B（2，0），在x轴下方有一直线l，它的解析式是y=-2（即l上每点的纵坐标都是-2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）C是抛物线上任意一点，试探求以C为圆心、OC为半径的圆与直线l的位置关系；
（3）设P是抛物线上一点，以OP为边作等边三角形OPQ，Q点恰好落在直线l上，试求出所有满足条件的P点坐标．

10．已知：如图，正方形ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作OE⊥CD于点E，且BC=4cm．点P从点B出发，沿折线BO-OE-ED运动，到点D停止．点P在BO上以$\sqrt{2}$cm/s的速度运动，在折线OE-ED上以1cm/s的速度运动．当点P与点B不重合，过点P作PQ⊥BC于点Q，以PQ为边在PQ左侧作矩形PQMN，使MQ=$\frac{3}{2}$PQ，设点P的运动时间为t（s）
（1）点P从点B运动到点O所需的时间为2（s）；
当点P在线段OE上运动时，线段OP的长为t-2（用含t的代数式表示）；
（2）当点N落在AB边上时，则t的值为3或$\frac{14}{3}$；
（3）设矩形PQMN与△BOC重叠部分的面积为S（cm²），请直接写出S与t的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；
（4）在点P、O重合之前的整个运动过程中，作矩形PQMN关于直线PQ的轴对称图形PQM′N′，取CO中点K，是否存在某一时刻，使△PN′K为等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

9．定义：如图1，过△ABC的三个顶点分别作与水平线垂直的三条直线，外侧两直线之间的距离OA叫做△ABC的“水平宽”，中间直线处于△ABC内部的线段BD的长度叫做△ABC的“铅垂高”．
性质：三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．
理解：例如：如图1，OA=3，BD=1.6，则S_△ABC=$\frac{1}{2}$×3×1.6=2.4
应用：（1）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），B（3，4），D（3，1）．则△ABC的面积为6；
（2）如图3，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+bx+c过A（4，0），C（0，4）两点，点M在第一象限的抛物线上运动，在点M的运动过程中，求△AMC面积的最大值；
（3）在（2）的条件下，如图4，点P在抛物线上，
①求以AC为底边的等腰三角形PAC的顶点P的坐标；
②直接写出以AC为底边的等腰三角形PAC的面积．

8．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，AD⊥BC于点D，点M是AB边上的点，且BM=$\frac{1}{3}$AB，过点M作MN∥BC交AD于点E，交AC于点N．
（1）求ME的长；
（2）将图中的△AMN以每秒1个单位长度的速度沿线段AB从点A向点B平移，当点A与点B重合时停止移动，△AMN运动的时间为t秒，△AMN与四边形BDEM重叠部分的面积为s，请直接写出s与t之间的函数关系式，并写出相应t的取值范围；
（3）将图中的△AMN绕点E逆时针旋转，设直线AE与直线BC交于点O．在△AMN旋转过程中，是否存在这样的点O，使△BOE为等腰三角形？若存在，请求出此时△AMN绕E逆时针旋转的旋转角α的大小（0°＜α≤180°）；若不存在，请说明理由．

7．在平面直角坐标系xOy中，直线y=-$\frac{1}{2}$x+6与x轴、y轴分别交于点A、B，与直线y=x相交于点C．
（1）直接写出点C的坐标；
（2）如图，现将直角∠FCE绕直角顶点C旋转，旋转时始终保持直角边CF与x轴、y轴分别交于点F、点D，直角边CE与x轴交于点E．
①在直角∠FCE旋转过程中，tan∠CED的值是否会发生变化？若改变，请说明理由，若不变，请求出这个值；
②在直角∠FCE旋转过程中，是否存在以C、E、F为顶点的三角形与△ODE相似？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．

6．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB度数．
小明发现，利用旋转和全等的知识构造△AP′C，连接PP′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决（如图2）．
请回答：图1中∠APB的度数等于150°，图2中∠PP′C的度数等于90°．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（-$\sqrt{3}$，1），连接AO．如果点B是x轴上的一动点，以AB为边作等边三角形ABC．当C（x，y）在第一象限内时，求y与x之间的函数表达式．

5．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，D为AB的中点，∠EDF=90°，DE交AC于点G，DF经过点C．
（1）求∠ADE的度数；
（2）如图2，将图1中的∠EDF绕点D顺时针方向旋转角a（0°＜a＜60°），旋转过程中的任意两个位置分别记为∠E₁DF₁，∠E₂DF₂，DE₁交直线AC于点P，DF₁交直线BC于点Q，DE₂交直线AC于点M，DF₂交直线BC于点N，求$\frac{PM}{QN}$的值；
（3）若图1中∠B=β（60°＜β＜90°），（2）中的其余条件不变，判断$\frac{PM}{QN}$的值是否为定值，如果是，请直接写出这个值（用含β的式子表示）；如果不是，请说明理由．