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12.在⊙O中,弦AB=BC=CA,D为$\widehat{BC}$上一点.(不与点B,C重合),连接AD,BD,CD
(1)如图①,若点D是$\widehat{BC}$的中点.结论:AD=BD+CD 是否成立?写出判断不用证明;
(2)如图②,若点D在$\widehat{BC}$上移动,结论:AD=BD+CD是否成立?写出判断给出证明;
(3)若BC=3,在(2)的条件下,求BD+CD的取值范围(直接写出结果即可)

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11.在△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=90°,取一块含45°角的直角三角形纸板,将45°角的顶点放在斜边BC的中点O处(如图①),顺时针方向旋转三角尺,使45°角的两边与AB、AC分别交于点E、F(如图②).设BE=x,CF=y,求y与x的函数表达式,并写出x的取值范围.

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10.已知:如图,Rt△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,CF交AB于点E,BD⊥CF于点D,AF⊥CF.求证:BD=AF+DF.

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9.在正方形ABCD中,点M是射线BC上一点,点N是CD延长线上一点,且BM=DN.直线BD与MN相交于E.
(1)如图1,当点M在BC上时,求证:BD-2DE=$\sqrt{2}$BM;
(2)如图2,当点M在BC延长线上时,连接BN交AD于点F,连接MF交BD于点G,连接CG.若DE=$\sqrt{2}$,且AF:FD=1:2时,求线段CG的长.

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8.如图,△AOB和△BCD为等边三角形,OB、BC在x轴上.
(1)如图1,求∠AEO的度数;
(2)如图1,连接BE,求∠AEB的度数;
(3)如图2,将△AOB绕O点顺时针旋转30°,得到△A′B′O,A′B′与x轴交于点G(3,0),P为OB′上一个动点,过P向OA′,A′B′作垂线段PM,PN,当P点在OB′上运动时(不与点O、B′重合).下列两个结论:①PM+PH的值不变,②PM-PH的值不变,其中有且只有一个是正确的,请找出这个结论,并求出其值.

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7.已知.Rt△ABC≌Rt△EBD,CD交AE于F.
(1)如图1,当Rt△ABC和Rt△EBD均为等腰直角三角形时,若点D落在边AB上,猜想线段AF与线段EF的数量关系,并证明;
(2)如图2,线段AF、EF的数量关系保持不变吗?如果不变,请证明,如果发生改变,请说明理由.

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6.在等腰△ABC中,AB=AC,点D在AC上一点,点E在BD的延长线上,且AB=AE,AF平分∠CAE交DE于点F,连接CF.
(1)如图1,请找出和∠CFB相等的角,并证明;
(2)如图,当∠ABC=60°,AF=m,EF=n时,求FB的长(用含m,n的式子表示);
(3)如图,当AE∥BC,且∠ABC=45°时,探索BD和EF的数量关系.

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5.如图,在等腰△ABC中,AB=CB,M为△ABC内一点,∠MAC+∠MCB=∠MCA=30°,求证:△ABM为等腰三角形.

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4.如图,AB=AC,∠CBD=∠BCD,∠BDC=150°,求∠BDA的度数.

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3.如图,已知△ABC和△AEF都是等边三角形,求证:BF=CE.

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