【题目】如图，两村在一条小河的同一侧，要在河边建水厂向两村供水．

（1）若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置？

（2）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？

（3）自来水厂建好后，在招收职工的试卷中有道题“请你在河流上找出一点，使的值最大．”你能找到点吗？请将上述三点在下列各图分别标出，并保留尺规作图痕迹．

【题目】已知：在中，．

（1）如图1，是边上两点，， 求的度数．

（2）点是边上两动点(不与重合)， 点在点左侧，且，点关于直线的对称点为，连接．

①依题意将图2补全．

②小明通过观察和实验，提出猜想：在点运动的过程中，始终有为等腰直角三角形，他把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成以下证明猜想的思路：要想证明为等腰直角三角形，只需证．

请参考上面的思路，帮助小明证明△APM 为等腰直角三角形．

对于两个不等的非零实数．若分式的值为零，则或又因为．所以关于的方程有两个根分别为．

应用上面的结论解答下列问题：

（1）方程的两个解中较小的一个为　　　　．

（2）关于解的方程，首先我们两边同加成，则 或 ，两个解分别为， 则 ， ．

（3）关于的方程的两个解分别为，求的值．

【题目】从6 月30日起，某县普降特大暴雨，遭受了短期降水量最大、内河水位历史最高、防汛压力最重的百年不遇的灾害．洪水无情人有情，该县实验学校9 (1)班计划用捐款从商店购买同品牌的雨衣和雨伞送往抗洪前线．已知购买一件雨衣比购买一把雨伞多用元，若用元购买雨衣和用元购买雨伞，则购买雨衣的件数是购买雨伞把数的一半．

（1）求购买该品牌的一件雨衣、一把雨伞各需要多少元．

（2）经商谈，商店给予该班级购买一件该品牌的雨衣赠送把该品牌的雨伞的优惠， 如果该班需要购买雨伞个数是雨衣件数的倍还多个，且该班购买雨衣和雨伞的总费用不超过元，那么该班最多可以购买多少件该品牌的雨衣？

【题目】如图，在等边三角形中，是高，点为的中点，交于点，交于点，下列说法中正确的有__________(填序号)

①， ②， ③，④．

【题目】如图，矩形的中，，，动点、分别以、的速度从点、同时出发，点从点向点移动.

(1)若点从点移动到点停止，点、分别从点、同时出发，问经过时、两点之间的距离是多少？

(2)若点从点移动到点停止，点随之停止移动，点、分别从点、同时出发，问经过多长时间、两点之间的距离是？

(3)若点沿着移动，点、分别从点、同时出发，点从点移动到点停止时，点随之也停止移动，试探求经过多长时间△的面积为2？

（2）方法迁移：如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，AE是∠BAF的平分线，试探究线段AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论；

（3）联想拓展：如图③，AB∥CF，E是BC的中点，点D在线段AE上，∠EDF＝∠BAE，试探究线段AB，DF，CF之间的数量关系，并证明你的结论．

解答下列问题：

(1)位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为____________；

（2）位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是________；

（3）求位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数；

（4）纸片半⊙P从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时，求该纸片所扫过图形的面积.

（1）求原计划每天生产的零件个数和规定的天数．

（2）为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%，按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数．