【题目】如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，，顶点C的坐标为，x反比例函数的图象与菱形对角线AO交于点D，连接BD，当轴时，k的值是______．

【题目】如图1，点E为矩形ABCD边AD上一点，点P，点Q同时从点B出发，点P沿运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是，设P，Q出发t秒时，的面积为，已知y与t的函数关系的图象如图曲线OM为抛物线的一部分，则下列结论：；直线NH的解析式为；不可能与相似；当时，秒．其中正确的结论个数是（ ）

A.1B.2C.3D.4

A.1+πB.πC.πD.1+π

例如：如图1，点P在△ABC的内部，∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，则△BCP∽△ABC，故点P为△ABC的自相似点．

请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：

在平面直角坐标系中，点M是曲线C：上的任意一点，点N是x轴正半轴上的任意一点．

（1） 如图2，点P是OM上一点，∠ONP=∠M, 试说明点P是△MON的自相似点； 当点M的坐标是，点N的坐标是时，求点P 的坐标；

（2） 如图3，当点M的坐标是，点N的坐标是时，求△MON的自相似点的坐标；

（3） 是否存在点M和点N,使△MON无自相似点,？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．

【题目】小明研究了这样一道几何题：如图1，在中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接．当时，请问边上的中线与的数量关系是什么？以下是他的研究过程：

特例验证：（1）①如图2，当为等边三角形时，猜想与的数量关系为_______；②如图3，当，时，则长为________．

猜想论证：（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明．

拓展应用：（3）如图4，在四边形，，，，，，在四边形内部是否存在点，使与之间满足小明探究的问题中的边角关系？若存在，请画出点的位置（保留作图痕迹，不需要说明）并直接写出的边上的中线的长度；若不存在，说明理由．

【题目】已知抛物线(m，n 为常数)．

（1）若抛物线的的对称轴为直线 x=1,且经过点（0，-1），求 m，n 的值；

（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求 n 的取值范围；

（3）在（1）的条件下，存在正实数 a，b( a＜b)，当 a≤x≤b 时，恰好有，请直接写出 a，b 的值．

如果函数 y＝f（x）满足：对于自变量 x 的取值范围内的任意 x1，x2，

（1）若 x1＜x2，都有 f（x1）＜f（x2），则称 f（x）是增函数；

（2）若 x1＜x2，都有 f（x1）＞f（x2），则称 f（x）是减函数．

例题：证明函数f（x）＝ （x＞0）是减函数．

证明：设 0＜x1＜x2，

f（x1）﹣f（x2）＝．

∵0＜x1＜x2，

∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0．

∴＞0．即 f（x1）﹣f（x2）＞0．

∴f（x1）＞f（x2）．

∴函数 f（x）= （x＞0）是减函数．

根据以上材料，解答下面的问题：

已知函数．

f（﹣1）＝ +（﹣2）＝-1，f（﹣2）＝ +（﹣4）＝．

（1）计算：f（﹣3）＝ ，f（﹣4）＝ ；

（2）猜想：函数是 函数（填“增”或“减”）；

（3）请仿照例题证明你的猜想．

（1）求证：四边形OCED为矩形；

（2）在BC上截取CF＝CO，连接OF，若AC＝16，BD＝12，求四边形OFCD的面积．

【题目】如图，反比例函数 的图象与正比例函数 的图象相交于(1,),两点，点在第四象限，∥ 轴，.

(1)求的值及点的坐标；

(2)求的值.

莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC 中，R 和 r 分别为外接圆和内切圆的半径，O 和 I 分别为其外心和内心，则OI R2Rr .

下面是该定理的证明过程（借助了第(2)问的结论）：

延长AI 交⊙O 于点 D，过点 I 作⊙O 的直径 MN，连接 DM，AN.

∵∠D=∠N，∴∠DMI=∠NAI（同弧所对的圆周角相等），

∴△MDI∽△ANI.∴，∴ IA ID IM IN ①

如图②，在图 1（隐去 MD，AN）的基础上作⊙O 的直径DE，连接BE，BD，BI，IF

∵DE 是⊙O 的直径，∴∠DBE=90°.

∵⊙I 与 AB 相切于点 F，∴∠AFI=90°，

∴∠DBE=∠IFA.

∵∠BAD=∠E（同弧所对圆周角相等），

∴△AIF∽△EDB．

∴，∴②，

由（2）知：，

∴

又∵，

∴ 2Rr(R d )(R d ) ，

∴ R d 2Rr

∴ d R 2Rr

任务：（1）观察发现： IM R d ， IN （用含R，d 的代数式表示）；

（2）请判断 BD 和 ID 的数量关系，并说明理由.（请利用图 1 证明）

（3）应用：若△ABC 的外接圆的半径为 6cm，内切圆的半径为 2cm，则△ABC 的外心与内心之间的距离为 　　cm．