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【题目】如图,抛物线y=x2+bx+c经过A (0,3),B (4,3)两点,与x轴交于点E,F,以AB为边作矩形ABCD,其中CD边经过抛物线的项点M,点P是抛物线上一动点(点P不与点A,B重合),过点P作y轴的平行线1与直线AB交于点G,与直线BD交于点H,连接AF交直线BD于点N.
(1)求该抛物线的解析式以及顶点M的坐标;
(2)当线段PH=2GH时,求点P的坐标;
(3)在抛物线上是否存在点P,使得以点P,E,N,F为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,△ABC为⊙O的内接三角形,AB为⊙O的直径,将△ABC沿直线AB折叠得到△ABD,交⊙O于点D.连接CD交AB于点E,延长BD和CA相交于点P,过点A作AG∥CD交BP于点G.
(1)求证:直线GA是⊙O的切线;
(2)求证:AC2=GDBD;
(3)若tan∠AGB=,PG=6,求cos∠P的值.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M,与BC相交于点N,连接BM,DN.
(1)求证:四边形BMDN是菱形;
(2)若AB=4,AD=8,求菱形BMDN的周长和对角线MN的长.
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【题目】由于“新冠肺炎”的发生,市场上防护口罩出现热销.某药店第一次用2000元购进若干个防护口罩,并按定价2.5元/个出售,很快售完由于该防护口罩畅销,第二次购进时,每个防护口罩的进价比第一次的进价提高了25%,该药店用3000元购进防护口罩的数量比第一次多了200个,并把定价提高20%进行销售.
(1)第一次购进时,每个防护口罩的价格是多少元?
(2)第二次售出800个防护口罩时,出现了滞销,该药店打算降价售完剩余的防护口罩.那么该药店每个防护口罩至多降价多少元出售,才能使第二次销售的防护口罩不亏本?
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【题目】为了培养学生数学学习兴趣,某校七年级准备开设“神奇魔方”、“魅力数独”、“数学故事”、“趣题巧解”四门选修课(每位学生必须且只选其中一门).学校对七年级部分学生进行选课调查,得到如图所示的统计图.
(1)根据统计图,本次选课共调查了 名学生;
(2)若该校七年级有960名学生,请计算出选“神奇魔方”的人数;
(3)学校将选“神奇魔方”的学生分成人数相等的A、B、C三个班,小聪、小慧都选择了“神奇魔方”.已知小聪不在A班,用列表法或画树状图法,求小聪和小慧被分到同一个班的概率.
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【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°.
(1)用尺规作∠A的平分线交BC边于点D(不写作法,保留作图痕迹);
(2)在(1)的基础上,已知∠B=30°,AC=6,则线段AD的长是 .
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【题目】如图,△ABC的面积为4,分别取AC,BC两边的中点A1,B1,记△A1B1C的面积为S1;再分别取A1C,B1C的中点A2,B2,记△A2B2C的面积为S2,再分别取A2C,B2C的中点A3,B3,记△A3B3C的面积为S3;则S3的值等于_____.
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【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c和直线y=x+1交于A,B两点,点A在x轴上,点B在直线x=3上,直线x=3与x轴交于点C
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P从点A出发,以每秒个单位长度的速度沿线段AB向点B运动,点Q从点C出发,以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动,点P,Q同时出发,当其中一点到达终点时,另一个点也随之停止运动,设运动时间为t秒(t>0).以PQ为边作矩形PQNM,使点N在直线x=3上.
①当t为何值时,矩形PQNM的面积最小?并求出最小面积;
②直接写出当t为何值时,恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上.
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【题目】如图,矩形ABCD中,AB=6,∠ABD=60°,点E从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿边AB运动,到点B停止运动.过点E作EF∥BD交AD于点F,将△AEF绕点E顺时针旋转得到△GEH,且点G落在线段EF上,设点E的运动时间为t(秒)(0<t<3).
(1)若t=1,求△GEH的面积;
(2)若点G在∠ABD的平分线上,求BE的长;
(3)设△GEH与△ABD重叠部分的面积为T,用含t的式子表示T,并直接写出当0<t<3时T的取值范围.
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