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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+mx+n与x轴正半轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点 C.
(1)若△OBC是等腰直角三角形,且其腰长为3,求抛物线的解析式;
(2)在(1)的条件下,点P为抛物线对称轴上的一点,则PA+PC的最小值为 .
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【题目】如图,园林小组的同学用一段长16米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园ABCD,墙的长度为9米,设AB的长为x米,BC的长为y米.
(1)①写出y与x的函数关系是: ;
②自变量x的取值范围是 ;
(2)园林小组的同学计划使矩形菜园的面积为30平方米,试求此时边AB的长.
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【题目】如图,AB是⊙0的直径,点C在⊙0上,D是中点,若∠BAC=70°,求∠C.
下面是小雯的解法,请帮他补充完整:
解:在⊙0中,
∵D是的中点
∴BD=CD.
∴∠1=∠2( )(填推理的依据).
∵∠BAC=70°,
∴∠2=35°.
∵AB是⊙0的直径,
∴∠ADB=90°( )(填推理的依据).
∴∠B=90°-∠2=55°.
∵A、B、C、D四个点都在⊙0上,
∴∠C+∠B=180°( )(填推理的依据).
∴∠C=180°-∠B= (填计算结果).
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【题目】在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=1,且其顶点在直线y=﹣2x﹣2上.
(1)求抛物线的顶点坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象;
(4)当﹣1<x<4时,直接写出y的取值范围.
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【题目】如图1所示,E为矩形ABCD的边AD上一点,动点P、Q同时从点B出发,点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止,点Q沿BC运动到点C时停止,它们运动的速度都是1cm/秒,设P、Q同时出发t秒时,△BPQ的面积为ycm2,已知y与t的函数关系图象如图2所示,请回答:
(1)线段BC的长为 cm.
(2)当运动时间t=2.5秒时,P、Q之间的距离是 cm.
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【题目】下表是二次函数y=ax2+bx+c的x,y的部分对应值:
x | … | 0 | 1 | 2 | … | ||||
y | … | ﹣1 | m | ﹣1 | n | … |
则对于该函数的性质的判断:①该二次函数有最大值;②不等式y>﹣1的解集是x<0或x>2;③方程ax2+bx+c=0的两个实数根分别位于﹣<x<0和2<x<之间;④当x>0时,函数值y随x的增大而增大;其中正确的是( )
A.②③B.②④C.①③D.③④
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【题目】已知,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(﹣1,0)和C(0,3).(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴上,是否存在点P,使PA+PC的值最小?如果存在,请求出点P的坐标,如果不存在,请说明理由;(3)设点M在抛物线的对称轴上,当△MAC是直角三角形时,求点M的坐标.
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【题目】阅读以下材料,并按要求完成相应地任务:
莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)是瑞士数学家,在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数,公式和定理,下面是欧拉发现的一个定理:在△ABC中,R和r分别为外接圆和内切圆的半径,O和I分别为其外心和内心,则.
如图1,⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆,⊙I与AB相切分于点F,设⊙O的半径为R,⊙I的半径为r,外心O(三角形三边垂直平分线的交点)与内心I(三角形三条角平分线的交点)之间的距离OI=d,则有d2=R2﹣2Rr.
下面是该定理的证明过程(部分):
延长AI交⊙O于点D,过点I作⊙O的直径MN,连接DM,AN.
∵∠D=∠N,∠DMI=∠NAI(同弧所对的圆周角相等),
∴△MDI∽△ANI,
∴,
∴①,
如图2,在图1(隐去MD,AN)的基础上作⊙O的直径DE,连接BE,BD,BI,IF,
∵DE是⊙O的直径,∴∠DBE=90°,
∵⊙I与AB相切于点F,∴∠AFI=90°,
∴∠DBE=∠IFA,
∵∠BAD=∠E(同弧所对圆周角相等),
∴△AIF∽△EDB,
∴,∴②,
任务:(1)观察发现:, (用含R,d的代数式表示);
(2)请判断BD和ID的数量关系,并说明理由;
(3)请观察式子①和式子②,并利用任务(1),(2)的结论,按照上面的证明思路,完成该定理证明的剩余部分;
(4)应用:若△ABC的外接圆的半径为5cm,内切圆的半径为2cm,则△ABC的外心与内心之间的距离为 cm.
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【题目】一个盒中有4个完全相同的小球,把它们分别标号为1,2,3,4,随机摸取一个小球然后放回,再随机摸出一个小球.
(Ⅰ)请用列表法(或画树状图法)列出所有可能的结果;
(Ⅱ)求两次取出的小球标号相同的概率;
(Ⅲ)求两次取出的小球标号的和大于6的概率.
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