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【题目】(问题呈现)阿基米德折弦定理:
如图1,AB和BC是⊙O的两条弦(即折线ABC是圆的一条折弦),BC>AB,点M是的中点,则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点,即CD=DB+BA.下面是运用“截长法”证明CD=DB+BA的部分证明过程.
证明:如图2,在CD上截取CG=AB,连接MA、MB、MC和MG.
∵M是的中点,
∴MA=MC①
又∵∠A=∠C②
∴△MAB≌△MCG③
∴MB=MG
又∵MD⊥BC
∴BD=DG
∴AB+BD=CG+DG
即CD=DB+BA
根据证明过程,分别写出下列步骤的理由:
① ,
② ,
③ ;
(理解运用)如图1,AB、BC是⊙O的两条弦,AB=4,BC=6,点M是的中点,MD⊥BC于点D,则BD= ;
(变式探究)如图3,若点M是的中点,(问题呈现)中的其他条件不变,判断CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系?并加以证明.
(实践应用)根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题:
如图4,BC是⊙O的直径,点A圆上一定点,点D圆上一动点,且满足∠DAC=45°,若AB=6,⊙O的半径为5,求AD长.
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【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于A(﹣3,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C,连接AC,BC.
(1)求此抛物线的表达式;
(2)求过B、C两点的直线的函数表达式;
(3)点P是第一象限内抛物线上的一个动点.过点P作PM⊥x轴,垂足为点M,PM交BC于点Q.试探究点P在运动过程中,是否存在这样的点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,请求出此时点P的坐标,若不存在,请说明理由;
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【题目】为了节省材料,某水产养殖户利用本库的岸堤(岸堤足够长)为一边,用总长为160m的围网在水库中围成了如图所示的①、②、③三块矩形区域网箱,而且这三块矩形区域的面积相等,设BE的长度为xm,矩形区域ABCD的面积为ym2.
(1)则AE= m,BC= m;(用含字母x的代数式表示)
(2)求矩形区域ABCD的面积y的最大值.
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【题目】为纪念建国70周年,某校举行班级歌咏比赛,歌曲有:《我爱你,中国》,《歌唱祖国》,《我和我的祖国》(分别用字母A,B,C依次表示这三首歌曲).比赛时,将A,B,C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上,洗匀后正面向下放在桌面上,八(1)班班长先从中随机抽取一张卡片,放回后洗匀,再由八(2)班班长从中随机抽取一张卡片,进行歌咏比赛.
(1)八(1)班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是__________;
(2)试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果,并求出八(1)班和八(2)班抽中不同歌曲的概率.
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【题目】某校组织学生参加“安全知识竞赛”(满分为分),测试结束后,张老师从七年级名学生中随机地抽取部分学生的成绩绘制了条形统计图,如图所示.试根据统计图提供的信息,回答下列问题:
(1)张老师抽取的这部分学生中,共有 名男生, 名女生;
(2)张老师抽取的这部分学生中,女生成绩的众数是 ;
(3)若将不低于分的成绩定为优秀,请估计七年级名学生中成绩为优秀的学生人数大约是多少.
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【题目】已知二次函数y=x2﹣4x+3.
(1)在所给的平面直角坐标系中画出它的图象;
(2)若三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3.y3)且2<x1<x2<x3,则y1,y2,y3的大小关系为 .
(3)把所画的图象如何平移,可以得到函数y=x2的图象?请写出一种平移方案.
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【题目】如图,二次函数y=x(x﹣3)(0≤x≤3)的图象,记为C1,它与x轴交于点O,A1;将C1点A1旋转180°得C2,交x轴于点A2;将C2绕点A2旋转180°得C3,交x轴于点A3;……若P(2020,m)在这个图象连续旋转后的所得图象上,则m=_____.
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【题目】已知二次函数,与的部分对应值如下表所示:
… | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | … | |
… | 6 | 1 | -2 | -3 | -2 | m | … |
下面有四个论断:
①抛物线的顶点为;
②;
③关于的方程的解为;
④.
其中,正确的有___________________
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