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【题目】已知在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于点C,D(如图).
(1)求证:AC=BD;
(2)若大圆的半径R=10,小圆的半径r=8,且圆O到直线AB的距离为6,求AC的长.
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【题目】一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球,把它们分别标号为1,2,3,4.随机摸取一个小球然后放回,再随机摸出一个小球,请用树状图或列表法求下列事件的概率.
(1)两次取出的小球的标号相同;
(2)两次取出的小球标号的和等于6.
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【题目】已知抛物线y=ax2+bx+c(a<0)与x轴交于点A(﹣1,0),与y轴的交点在(0,2),(0,3)之间(包含端点),顶点坐标为(1,n),则下列结论:
①4a+2b<0;
②﹣1≤a≤;
③对于任意实数m,a+b≥am2+bm总成立;
④关于x的方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根.
其中结论正确的个数为( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】在平面直角坐标系中的两个图形与,给出如下定义:为图形上任意一点,为图形上任意一点,如果两点间的距离有最小值,那么称这个最小值为图形间的“和睦距离”,记作,若图形有公共点,则.
(1)如图(1),,,⊙的半径为2,则 , ;
(2)如图(2),已知的一边在轴上,在上,且,,.
①是内一点,若、分别且⊙于E、F,且,判断与⊙的位置关系,并求出点的坐标;
②若以为半径,①中的为圆心的⊙,有,,直接写出的取值范围 .
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【题目】某企业生产并销售某种产品,整理出该商品在第()天的售价与函数关系如图所示,已知该商品的进价为每件30元,第天的销售量为件.
(1)试求出售价与之间的函数关系是;
(2)请求出该商品在销售过程中的最大利润;
(3)在该商品销售过程中,试求出利润不低于3600元的的取值范围.
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【题目】已知AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,BC交⊙O于点D(如图1).
(1)若AB=2,∠B=30°,求CD的长;
(2) 取AC的中点E,连结D、E(如图2),求证:DE与⊙O相切.
【答案】(1);(2)见解析
【解析】分析:连接AD ,根据AC是⊙O的切线,AB是⊙O的直径,得到∠CAB=∠ADB=90°,根据∠B=30°,解直角三角形求得的长度.
连接OD,AD.根据DE=CE=EA,∠EDA=∠EAD. 根据OD=OA,得到
∠ODA=∠DAO,得到∠EDA+∠ODA=∠EAD+∠DAO.得到∠EDO=90°即可.
详解:(1)如图,连接AD ,
∵AC是⊙O的切线,AB是⊙O的直径,
∴∠CAB=∠ADB=90°,
∴ΔCAB,ΔCAD均是直角三角形.
∴∠CAD=∠B=30°.
在RtΔCAB中,AC=ABtan30°=
∴在RtΔCAD中,CD=ACsin30°=
(2)如图,连接OD,AD.
∵AC是⊙O的切线,AB是⊙O的直径,
∴∠CAB=∠ADB=∠ADC=90°,
又∵E为AC中点,
∴DE=CE=EA,
∴∠EDA=∠EAD.
∵OD=OA,
∴∠ODA=∠DAO,
∴∠EDA+∠ODA=∠EAD+∠DAO.
即:∠EDO=∠EAO=90°.
又点D在⊙O上,因此DE与⊙O相切.
点睛:考查解直角三角形,圆周角定理,切线的判定与性质等,属于圆的综合题,比较基础.注意切线的证明方法,是高频考点.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】课外活动时间,甲、乙、丙、丁4名同学相约进行羽毛球比赛.
(1)如果将4名同学随机分成两组进行对打,求恰好选中甲乙两人对打的概率;
(2)如果确定由丁担任裁判,用“手心、手背”的方法在另三人中竞选两人进行比赛.竞选规则是:三人同时伸出“手心”或“手背”中的一种手势,如果恰好只有两人伸出的手势相同,那么这两人上场,否则重新竞选.这三人伸出“手心”或“手背”都是随机的,求一次竞选就能确定甲、乙进行比赛的概率.
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【题目】二次函数的图象如图所示,根据图象解答下列问题:
(1)写出方程的两个根;
(2)若方程有两个不相等的实数根,求的取值范围;
(3)若抛物线与直线相交于,两点,写出抛物线在直线下方时的取值范围.
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【题目】定义:三角形一边上的点将该边分为两条线段,且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方,则称这个点为三角形该边的“好点”.如图1,△ABC中,点D是BC边上一点,连结AD,若,则称点D是△ABC中BC边上的“好点”.
(1)如图2,△ABC的顶点是网格图的格点,请仅用直尺画出AB边上的一个“好点”.
(2)△ABC中,BC=9,,,点D是BC边上的“好点”,求线段BD的长.
(3)如图3,△ABC是的内接三角形,OH⊥AB于点H,连结CH并延长交于点D.
①求证:点H是△BCD中CD边上的“好点”.
②若的半径为9,∠ABD=90°,OH=6,请直接写出的值.
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【题目】已知△ABC是等边三角形,AD⊥BC于点D,点E是直线AD上的动点,将BE绕点B顺时针方向旋转60°得到BF,连接EF、CF、AF.
(1)如图1,当点E在线段AD上时,猜想∠AFC和∠FAC的数量关系;(直接写出结果)
(2)如图2,当点E在线段AD的延长线上时,(1)中的结论还成立吗?若成立,请证明你的结论,若不成立,请写出你的结论,并证明你的结论;
(3)点E在直线AD上运动,当△ACF是等腰直角三角形时,请直接写出∠EBC的度数.
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