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【题目】学校为奖励在家自主学习有突出表现的学生,决定购买笔记本和钢笔作为奖品.已知1本笔记本和4支钢笔共需100元,4本笔记本和6支钢笔共需190元.
(1)分别求一本笔记本和一支钢笔的售价;
(2)若学校准备购进这两种奖品共90份,并且笔记本的数量不多于钢笔数量的3倍,请设计出最省钱的购买方案,并说明理由.
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【题目】如图1,在中,,点D、E分别是边的中点,连接,将绕点A按顺时针方向旋转,记旋转角为,、所在直线相交所成的锐角为.
(1)问题发现
当时,________;________°.
(2)拓展探究
试判断:当时,和的大小有无变化?请仅就图2的情形给出证明.
(3)在旋转过程中,当时,直接写出此时的面积.
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【题目】在中,,点P是平面内不与点A,C重合的任意一点,连接,将线段绕点P旋转得到线段,连结.
(1)观察猜想:如图1,当时,线段绕点P顺时针旋转得到线段,则的值是________,直线与相交所成的较小角的度数是________;
(2)类比探究:如图2,当时,线段绕点P顺时针旋转得到线段.请直接写出与相交所成的较小角的度数,并说明与相似,求出的值;
(3)拓展延伸:当时,且点P到点C的距离为,线段绕点P逆时针旋转得到线段,若点A,C,P在一条直线上时,求的值.
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【题目】我们定义:将一个图形绕某一定点按某一方向旋转一定的角度(旋转角度小于等于360°),并且各边长伸缩相同的倍数得到另一个图形,如图①,这种变换叫做旋转伸缩变换,其中定点叫做旋转中心,对应边的比叫做伸缩比.
(特例感知)
(1)如图①,是等边三角形,绕点A作旋转伸缩变换得,连接,
①若,则旋转角的度数为________;
②若伸缩比为2∶1,则线段的数量关系为________;
③直线与直线所夹的锐角为________;
(探究证明)
(2)如图②,在中,,将绕点A逆时针方向旋转一定的角度,作旋转伸缩变换得到,连接、,直线与直线相交于点P,请判断的值及的度数,并说明理由;
(问题解决)
(3)在(2)的条件下,若,求当点与点P重合时,的长.
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【题目】(问题背景)如图,在中,,点D,E分别在边上,,连接,点P为的中点.
(观察猜想)观察图1,猜想线段与的数量关系是________,位置关系是________.
(2)(拓展探究)把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置,(1)中的结论是否仍然成立,若成立,请证明:否则写出新的结论并说明理由.
(3)(问题解决)把绕点A在平面内自由旋转,若,请直接写出线段长的取值范围.
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【题目】如图所示,在△ABC中,,D、E分别是边AB、BC上的动点,且,连结AD、AE,点M、N、P分别是CD、AE、AC的中点,设.
(1)观察猜想
①在求的值时,小明运用从特殊到一般的方法,先令,解题思路如下:
如图1,先由,得到,再由中位线的性质得到,
,进而得出△PMN为等边三角形,∴.
②如图2,当,仿照小明的思路求的值;
(2)探究证明
如图3,试猜想的值是否与的度数有关,若有关,请用含的式子表示出,若无关,请说明理由;
(3)拓展应用
如图4,,点D、E分别是射线AB、CB上的动点,且,点M、N、P分别是线段CD、AE、AC的中点,当时,请直接写出MN的长.
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【题目】某数学活动小组在作三角形的拓展图形,研究其性质时,经历了如下过程:
●操作发现:
在等腰△ABC中,AB=AC,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图1所示,其中DF⊥AB于点F,EG⊥AC于点G,M是BC的中点,连接MD和ME,则下列结论正确的是 (填序号即可)
①AF=AG=AB;②MD=ME;③整个图形是轴对称图形;④∠DAB=∠DMB.
●数学思考:
在任意△ABC中,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图2所示,M是BC的中点,连接MD和ME,则MD和ME具有怎样的数量和位置关系?请给出证明过程;
●类比探索:
在任意△ABC中,仍分别以AB和AC为斜边,向△ABC的内侧作等腰直角三角形,如图3所示,M是BC的中点,连接MD和ME,试判断△MED的形状.
答: .
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【题目】如图一,菱形与菱形的顶点重合,点在对角线上,且.
(1)问题发现:
的值为________;
(2)探究与证明:
将菱形绕点按顺时针方向旋转角(),如图二所示,试探究线段与之间的数量关系,并说明理由;
(3)拓展与运用:
菱形在旋转过程中,当点,,三点在一条直线上时,如图三所示,连接并延长,交于点,若,,则的长为________.
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【题目】在中,,.点P是平面内不与A,C重合的任意一点,连接,将线段绕点P逆时针旋转得到线段,连接.点M是的中点,点N是的中点.
(1)问题发现
如图1,当时,的值是________,直线与直线相交所成的较小角的度数是________.
(2)类比探究
如图2,当时,请写出的值及直线与直线相交所成的较小角的度数,并就图2的情形说明理由.
(3)解决问题
如图3,当时,若点E是的中点,点P在直线上,请直接写出点B,P,D在同一条直线上时的值.
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【题目】如图直角坐标系中,以M(3,0)为圆心的⊙M交x轴负半轴于A,交x轴正半轴于B,交y轴于C、D.
(1)若C点坐标为(0,4),求点A坐标.
(2)在(1)的条件下,在⊙M上,是否存在点P,使∠CPM=45°,若存在,求出满足条件的点P.
(3)过C作⊙M的切线CE,过A作AN⊥CE于F,交⊙M于N,当⊙M的半径大小发生变化时.AN的长度是否变化?若变化,求变化范围,若不变,证明并求值.
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