如图，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M．
探究：线段MD、MF的关系，并加以证明．
说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；
（2）在你经历说明（1）的过程后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．
注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得7分；选取③完成证明得5分．
①DM的延长线交CE于点N，且AD=NE；②将正方形CGEF6绕点C逆时针旋转45°（如图），其他条件不变；③在②的条件下，且CF=2AD．
附加题：将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图），其他条件不变．探究：线段MD、MF的关系，并加以证明．

如图，P是y轴上一动点，是否存在平行于y轴的直线x=t，使它与直线y=x和直线y=-

1

2

x+2分别交于点D、E（E在D的上方），且△PDE为等腰直角三角形？若存在，求t的值及点P的坐标；若不存在，请说明原因．

已知A₁、A₂、A₃是抛物线y=

1

2

x²上的三点，A₁B₁、A₂B₂、A₃B₃分别垂直于x轴，垂足为B₁、B₂、B₃，直线A₂B₂交线段A₁A₃于点C．
（1）如图，若A₁、A₂、A₃三点的横坐标依次为1，2，3，求线段CA₂的长；
（2）如图，若将抛物线y=

1

2

x²改为抛物线y=

1

2

x²-x+1，A₁、A₂、A₃三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，求线段CA₂的长；
（3）若将抛物线y=

1

2

x²改为抛物线y=ax²+bx+c，A₁、A₂、A₃三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，请猜想线段CA₂的长（用a、b、c表示，并直接写出答案）．

甲车在弯路作刹车试验，收集到的数据如下表所示：

速度x （千米/时）	0	5	10	15	20	25	…
刹车距离y（米）	0	3 4	2	15 4	6	35 4	…

（1）请用上表中的各对数据（x，y）作为点的坐标，在图5所示的坐标系中画出甲车刹车距离y（米）与速度x（千米/时）的函数图象，并求函数的解析式；
（2）在一个限速为40千米/时的弯路上，甲、乙两车相向而行，同时刹车，但还是相撞了．事后测得甲、乙两车的刹车距离分别为12米和10.5米，又知乙车的刹车距离y（米）与速度x（千米/时）满足函数y=

1

4

x，请你就两车的速度方面分析相撞的原因．

在数学活动中，小明为了求

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n

的值（结果用n表示）．设计如图所示的几何图形．
（1）请你利用这个几何图形求

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n

的值为．
（2）请你利用下图，再设计一个能求

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n

的值的几何图形．

已知：y=

x2-2x+1

x2-1

÷

x2-x

x+1

-

1

x

+1，试说明在右边代数式有意义的条件下，不论x为何值，y的值不变．