Question

火车与公路交叉处设置人工控制的栏杆，图是栏杆的示意图．栏杆全长AB=6m，在栏杆的左端安装配重，使栏杆和配重总体的重心位于O点．栏杆的P点安装转轴，转轴与支架C连接，使栏杆能绕P在竖直平面无摩擦转动，支架C用两块木板做成，中间空隙可以容纳栏杆．栏杆的B端搁置在支架D上，当支架D上受到压力为F_D时，栏杆恰好在水平位置平衡．当体重为G_人的管理人员双脚站在水平地面时，他对地面的压强是p₁；当他用力F₁竖直向下压A端，使栏杆的B端刚好离开支架，此时人双脚对地面的压强是p₂．管理人员继续用力可使栏杆逆时针转动至竖直位置，并靠在支架C上．火车要通过时，他要在A端用力F₂使栏杆由竖直位置开始离开支架C，使栏杆能顺时针转动直至栏杆B端又搁置在支架D上．已知AP=OP=1m，PE=m，O点到栏杆下边缘的距离OE=0.5m，p₁：p₂=2：1，栏杆与配重的总重G_杆=240N．
求：（1）F_D
（2）G_人
（3）F₂的最小值，此时F₂的方向．（计算和结果可带根号）

Answer 1

解：（1）支架D受到的压力F_D与支架D对杆的支持力F_B是一对相互作用力，F_D=F_B，
栏杆能绕P转动，栏杆恰好在水平位置平衡，根据杠杆平衡条件F₁?l₁=F₂?l₂得：
G_杆?PE=F_D?PB，
240N?m=F_D?（6m-1m），
所以，F_D=72N．
当管理人员用力F₁竖直向下压A端，杠杆处于水平位置平衡，根据杠杆平衡条件F₁?l₁=F₂?l₂得：
G_杆?PE=F₁?AP，
240N?m=F₁?1m，
所以，F₁=360N．
（2）S为人与地面的接触面积，人站在水平地面对地面的压强：p₁==，
用力F₁后，人对地面的压力为G_人-F₁，人对地面的压强：p₂==，
p₁：p₂=2：1，
即：：=2：1，
=，
所以，G_人=720N．
（3）当栏杆在竖直位置时，栏杆重力的力臂大小等于为OE，要最省力，需要的力臂最长，在A点水平向左拉动栏杆．如图．

根据杠杆平衡条件得，G_杆?OE=F₂?PA，
240N?0.5m=F₂?1m，
F₂=120N．
答：（1）F_D=72N．（2）G_人=720N．（3）F₂的最小值，此时F₂的方向在A点沿水平方向向左．
分析：栏杆能绕P在竖直平面无摩擦转动，栏杆的B端搁置在支架D上，当支架D上受到压力为F_D时，杠杆右端受到竖直向上的力大小等于F_D，栏杆恰好在水平位置平衡，根据杠杆平衡条件求出大小F_D．
当管理人员用力F₁竖直向下压A端，使栏杆的B端刚好离开支架，杠杆还处于水平位置平衡，根据杠杆平衡条件求出F₁大小．
当体重为G_人的管理人员双脚站在水平地面时，他对地面的压强是p₁；当他用力F₁竖直向下压A端，使栏杆的B端刚好离开支架，此时人双脚对地面的压强是p₂．根据P₁和P₂的关系，求出人的体重．
管理人员要在A端用力F₂使栏杆由竖直位置开始离开支架C，使栏杆能顺时针转动直至栏杆B端又搁置在支架D上．在竖直方向上，栏杆有向逆时针转动的趋势，所以要阻碍栏杆逆时针转动．所以在栏杆的A点施加水平向左的力，根据杠杆平衡条件，求出F₂的大小．
点评：本题栏杆看出一个绕P点转动的杠杆，栏杆三次处于水平位置平衡，根据杠杆平衡条件列出等式，求出未知量．
人站在地面上，对地面有压强，人压栏杆时，对栏杆有压力作用，根据物体间力的作用是相互的，栏杆对人有拉力的作用，人对地面有压强，根据两次压强的关系，求出人的重力．