Question

如图所示，工人站在水平地面，通过滑轮组打捞一块沉没在水池底部的实心金属物体A。工人用力将物体A竖直缓慢拉起，在整个提升过程中，物体A始终以0.1m/s的速度匀速上升。物体A没有露出水面之前滑轮组的机械效率为η₁，工人对水平地面的压强为p₁；当物体A完全露出水面之后滑轮组的机械效率为η₂，工人对水平地面的压强为p₂。若物体A重为320N，动滑轮重40N，工人双脚与地面的接触面积是400cm²，p₁－p₂=250Pa，绳重、水的阻力及滑轮轮与轴间的摩擦均可忽略不计，g取10N/kg，求：

（1）当物体A刚离开底部，受到水的浮力；
（2）金属A的密度；
（3）当物体A完全露出水面以后，人拉绳子的功率；
（4）η₁与η₂的比值。

Answer 1

（1）40N  （2） 8×10³kg/m³    （3） 36W     （4） 63∶64

试题分析：(1)工人站在水平地面，受到重力G_人、地面支持力F_支和绳子拉力F_拉，且工人静止，可以得到：
F_支＋F_拉＝G_人
F_支和F_压是相互作用力，大小相等；F_拉和人拉绳子的力F（两次拉力分别用F₁和F₂表示）是相互作用力，大小相等，可以得到：F_压＝G_人－F
人对地面的压强P=F_压/S ，则P₁＝（G_人－F₁）/S    P₂＝（G_人－F₂）/S
P₁－P₂＝[（G_人－F₁）/S]－（G_人－F₂）/S ="(" F₂－F₁)/S
由已知：(F₂－F₁)/ 400×10^－4m²＝250Pa 解出：F₂－F₁＝10N    ①                               
在水中时，动滑轮受到重力G_动、物体A对绳子的拉力F_A1和4根绳子拉动滑轮的力4F₁，由动滑轮做匀速直线运动，可以得到：4F₁=G_动＋F_A1
物体A受到重力G_A、浮力F_浮和绳子拉力F_A1^/，由物体A匀速直线运动，得到：G_A＝F_浮＋F_A1^/
F_A和F_A^/是相互作用力，大小相等，由两式可得：
4F₁＋F_浮＝G_动＋G_A ②
同理：在水面时上，动滑轮受到重力G_动、物体A通过绳子的拉力F_A2和4根绳子拉动滑轮的力4F₂，由动滑轮做匀速直线运动，可以得到：4F₂＝G_动＋F_A2
物体A受到重力G_A、绳子拉力F_A2^/，由物体A匀速直线运动，得到：G_A＝F_A2^/
F_A2和F_A2^/是相互作用力，大小相等，由两式可得：
4F₂＝G_动＋G_A   ③                                        
由②、③式可以得到：4（F₂－F₁）＝F_浮
代入①式，得到F_浮＝4（F₂－F₁）＝4×10N＝40N               
（2）根据阿基米德原理，F_浮＝ρ_水·V_排·g
得：物体A的体积V_A＝V_排＝F_浮/(ρ_水·g)=40N/(10³kg/m³×10N/kg)＝4×10^－3m³
物体A的质量m_A＝G_A /g＝320N/10N/kg =32kg
物体A的密度ρ_A＝m_A/V_A＝32kg/4×10^－3m³＝8×10³kg/m³                        
（3）物体A在水面上匀速直线运动时，4F₂＝G_动＋G_A =40N＋320N=360N，F₂＝90N
人拉力的功率为p_人＝F₂ ·4v_A＝90N×4×0.1m/s＝36W            
（4）物体A在水面下和水面上的效率分别为：η₁和η₂
根据机械效率公式，η＝W_有/W_总
η₁＝（G_A－F_浮）h/4h·F₁＝（G_A－F_浮）/( G_A＋G_动 －F_浮）＝（320N－40N）/(320N＋40N－40N)＝7/8
η₂＝G_Ah/4h·F₂＝G_A /( G_A＋G_动) =320N/(320N＋40N)＝8/9
η₁∶η₂＝7/8∶(8/9)＝63∶64