Question

8．假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，对壳外物体的引力等于将所有质量全部集中在球心的质点对球外物体的引力．现以地心为原点O建立一维直线坐标系，用r表示坐标系上某点到地心的距离，则该直线上各点的重力加速度g随r变化的图象正确的是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 根据题意知，地球表面的重力加速度等于半径为R的球体在表面产生的加速度，在其内部距离地心距离为r处一点的加速度相当于半径为r的球体在其表面产生的加速度，根据地球质量分布均匀得到加速度的表达式，再根据半径关系求解即可．

解答 解：设地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有：g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，
由于地球的质量为M=$\frac{4}{3}$πR³ρ，
所以重力加速度的表达式可写成：g=$\frac{4πGRρ}{3}$，
根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，在距离地球球心为r处，受到地球的万有引力即为半径等于r的球体在其表面产生的万有引力，g′=$\frac{4πGρ}{3}$r，
当r＜R时，g与r成正比，当r＞R后，g与r平方成反比．
故选A．

点评 抓住在地球表面重力和万有引力相等，在矿井底部，地球的重力和万有引力相等，要注意在地球内部所谓的地球的质量不是整个地球的质量而是半径为r的球体的质量．