Question

一根不均匀的金属杆长AB=4m，自重为G=4 000N，放在水平地面上．如图所示的滑轮组的绳子系在B端，以A端为支点，竖直向上地提起它的B端．当人站在水平地面上，竖直向下用力拉绳端，使金属杆的B端刚离开地面时，人对地面的压力为F_N1，B端受到竖直向上的拉力为F₁，若匀速略微向上提起金属杆的过程中，滑轮组的绳重、绳的伸长和轮轴问摩擦可以忽略，滑轮组的机械效率保持不变为η₁．；当把该滑轮组的绳子系在金属杆的C点，AC=3m，仍以A端为支点，匀速略微竖直向上拉起B端，人对地面的压力为F_№时，C点受到竖直向上的拉力为F₂，B端恰好离开地面，这时滑轮组的机械效率为η₂．若人的体重为G_人=700N且保持不变，F_Nl：F_N2=12：7，η₁：η₂=63：64．求：
（1）F₁与F₂的比值；
（2）动滑轮重G_动；
（3）金属杆的重心0距A端的距离．

Answer 1

【答案】分析：（1）设金属杆重心0距A端的距离为L₂，知道B端受到竖直向上的拉力F₁和C点受到竖直向上的拉力为F₂，又知道AB和AC的长度，再根据杠杆的平衡条件可以列出两个等式，即F₁AB=G_杆L₂，F₂AC=G_杆L₂，便可以计算出F₁与F₂的比值①．
（2）滑轮组的绳重、绳的伸长和轮轴问摩擦可以忽略，知道B端受到竖直向上的拉力F₁和C点受到竖直向上的拉力为F₂，滑轮组在此图情形的机械效率的计算如下：η====，再借助η₁：η₂=63：64，从而可以列出一个机械效率比值的等式②．
（3）从图可知，有四段绳子吊着物体，则绳子末端的拉力就等于竖直向上的拉力和动滑轮重力的，人未离开地面，处于平衡状态，人受到竖直向下的重力、竖直向上的支持力和拉力，人对地面的压力的大小也就是支持力的大小，则人对地面的压力就等于人的重力减去绳子末端的拉力，再借助F_Nl：F_N2=12：7，从而可以列出一个人对地面的压力比值的等式③．
①②③组成方程组便可以计算出出F₁、F₂和动滑轮重G_动．再把F₁代入F₁AB=G_杆L₂便可以计算出金属杆的重心0距A端的距离．
解答：解：（1）设金属杆重心0距A端的距离为L₂，B端受到竖直向上的拉力F₁，C点受到竖直向上的拉力为F₂，
根据杠杆的平衡条件可知：F₁AB=G_杆L₂，F₂AC=G_杆L₂，
则F₁AB=F₂AC，
∴===①．
（2）∵滑轮组的绳重、绳的伸长和轮轴问摩擦可以忽略，
∴η====，
即==×=，
化简得：64F₁（F₂+G_动）=63F₂（F₁+G_动），
即：F₁F₂+64F₁G_动=63F₂G_动②．
（3）从图可知，有四段绳子吊着物体，则绳子末端的拉力就等于竖直向上的拉力和动滑轮重力的，
从图可知，人对地面的压力就等于人的重力减去绳子末端的拉力，
∴===，
化简得：12F₂-7F₁+5G_动=14000N③，
则===①，F₁F₂+64F₁G_动=63F₂G_动②，12F₂-7F₁+5G_动=14000N③，组成方程组，
解得：F₁=1500N；F₂=2000N；G_动=100N．
把F₁=1500N代入F₁AB=G_杆L₂可得：1500N×4m=4000N×L₂，
∴L₂=1.5m．
答：（1）F₁与F₂的比值为3：4．
（2）动滑轮重G_动为100N．
（3）金属杆的重心0距A端的距离为1.5m．
点评：本题考查了杠杆的平衡条件、机械效率的计算和拉力计算，关键是对公式公式变形的理解和应用，考查的知识点较多，这就需要学生对公式和公式变形有一定的理解，有一定的难度．