Question

1．如图所示，一杯子底部是边长2L的正方形，壁很薄很高，从上往下依次有密度为ρ，4ρ高各为L的两种液体．现放入一密度为1.5ρ，高4L，底面积为2L²的长方体物块，物块不碰侧壁也不倾斜（大气压强为ρ₀），当物块在液体中静止时，求
（1）此时上层液体的高度变为多少？
（2）此时物块底部与杯底距离为多少？
（3）此时下层液体对其中一个侧壁的压力为多少？

Answer 1

分析 （1）由于液体的密度小于长方体物块的密度，则物块一定会浸入到上层液体的下面，所以据此即可判断上层液体的高度；
（2）利用漂浮条件和阿基米德原理即可求出物块浸入到下层液体的深度，然后根据物块浸没的深度求出物块底部与杯底距离；
（3）利用p=ρgh分别求出下层液体对一个侧壁产生的平均压强，利用F=pS即可求出压力．

解答 解：（1）已知液体的密度为ρ，长方体物块的密度为1.5ρ，则液体的密度小于长方体物块的密度，根据物体的浮沉条件可知：物块一定会浸入到上层液体的下面；
由于上、下层液体的体积都为V=SL=2L×2L×L=4L³，物块的体积为V_物=S_物4L=2L²×4L=8L³，
而容器的底面积S_容=2L×2L=4L²，
所以当物块沉在底部时，液体升高的高度才与物块的高度相平，所以，物块不会浸没在上层液体中，
一定是物块会露出上层液体，但也浸入到下层液体中一部分，
由于容器的底面积S_容=2S_物，所以上层液体的高度变为2L；
（2）物块的重力为：G_物=ρ_物gV_物=ρ_物gS_物×4L=1.5ρg×2L²×4L=12ρgL³，
由于物块会露出上层液体，但也浸入到下层液体中一部分，设浸入下层液体中的物块部分高度为L′，
则：物块受到的浮力F_浮=ρ_上液gV_排上液+ρ_下液gV_排下液=ρ_上液gS_容×2L+ρ_下液gS_容×L′=ρg×4L²×2L+4ρg×4L²×L′=8ρgL³+16ρgL²×L′，
根据漂浮条件可知：F_浮=G_物，
即：8ρgL³+16ρgL²×L′=12ρgL³，
所以，L′=$\frac{1}{4}$L，
由于容器的底面积S_容=2S_物，所以下层液体的高度升高的高度为△h=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{4}$L=$\frac{1}{8}$L，所以下层液体此时实际高度为L+=$\frac{1}{8}$L=1$\frac{1}{8}$L；
则物块底部与杯底距离h=1$\frac{1}{8}$L-$\frac{1}{4}$L=$\frac{7}{8}$L；
（3）下层液体对一个侧壁产生的平均压强为：
p′=ρ_上液g×2L+ρ_下液g×$\frac{1}{2}$×1$\frac{1}{8}$L=ρg×2L+4ρg×$\frac{1}{2}$×1$\frac{1}{8}$L=4.25ρgL，
下层液体与一个侧壁的面积为S′=2L×$1\frac{1}{8}$L=2.25L²；
所以压力F=p′S′=4.25ρgL×2.25L²=9.5625ρgL³．
答：（1）此时上层液体的高度变为2L；
（2）此时物块底部与杯底距离为$\frac{7}{8}$L；
（3）此时下层液体对其中一个侧壁的压力为9.5625ρgL³．

点评 本题考查物体浮沉条件和阿基米德原理的应用，难点是物块浸在液体中时物块排开的液体升高的高度变化判断．注意计算下层液体对其中一个侧壁的压力时需要利用层液体对一个侧壁产生的平均压强来计算．