Question

18．柱状容器内放入一个体积大小为200厘米³的柱状物体，现不断向容器内注入水，并记录水的总体积V和所对应的水的深度h，如下表所示．

V（厘米3）	60	120	180	240	300	360
h（厘米）	5	10	15	19	22	25

求：（1）容器底面积S₂的大小为20cm²；
（2）当h=17.5厘米时，柱状物体对容器底部的压力为0；
（3）求柱状物的密度．

Answer 1

分析 （1）观察表中数据可知，h从5-10cm，可求水的体积变化△V=（S₂-S₁）△h=60cm³；h从22-25cm，水的体积变化△V′=S₂（h₆-h₅）=60cm³，据此求出S₂大小；
（2）（3）知道柱状物体的体积，可求柱状物体的高，分析表中数据，如果柱状物体的密度大于或等于水的密度，在加水过程中柱状物体将静止在容器底不会上浮，容器内水的体积变化应该与h的变化成正比，由表中数据可知器内水的体积变化应该与h的变化不成正比，所以柱状物体的密度小于水的密度；因此随着水的增多，柱状物体将漂浮在水面上，当物体漂浮在液面上，对容器底部的压力为0；
设柱状物体浸入的深度为H_浸，当h₆=25cm时，知道水的体积，可求柱状物体浸入的深度，进而求出此时排开水的体积，根据漂浮体积和阿基米德原理求出物体的密度．

解答 解：
（1）由表中数据可知，h从5-10cm，
水的体积变化：
△V=（S₂-S₁）（10cm-5cm）=60cm³，----------①
h从22-25cm，
水的体积变化：
△V′=S₂（h₆-h₅）=60cm³，
即：S₂（25cm-22cm）=60cm³，
解得：
S₂=20cm²，
代入①得：
S₁=8cm²，
（2）柱状物体的体积：
V_物=S₁H，
如果柱状物体的密度大于或等于水的密度，在加水过程中柱状物体将静止在容器底不会上浮，容器内水的体积变化应该与h的变化成正比，由表中数据可知器内水的体积变化应该与h的变化不成正比，所以柱状物体的密度小于水的密度；因此随着水的增多，柱状物体将漂浮在水面上，
设柱状物体浸入的深度为H_浸，
当h₆=25cm时，
水的体积：
S₂h₆-S₁H_浸=360cm³，
即：20cm²×25cm-8cm²×H_浸=360cm³，
解得：
H_浸=17.5cm，
（3）此时排开水的体积：
V_排=S₁H_浸=8cm²×17.5cm=140cm³，
当柱状物体漂浮时，
ρ_水V_排g=ρ_物Vg，
即：1×10³kg/m³×140cm³×g=ρ_物×200cm³×g，
解得：
ρ_物=0.7×10³kg/m³．
故答案为：（1）20cm²；（2）17.5；（3）柱状物的密度为0.7×10³kg/m³．

点评 本题为复杂的力学计算题，考查了学生对密度公式、阿基米德原理、物体的漂浮条件的掌握和运用，根据表中数据确定最后柱状物体的状态是本题的关键．