Question

4．如图所示，实心均匀正方体A、B放置在水平地面上，它们的高度分别为0.2米和0.1米，A的密度为2×10³千克/米³，B质量为1千克．求：
①A的质量；    
②B对水平地面的压强；
③若在正方体A、B上沿竖直方向按相同比例k截下一部分，并将截下的部分分别叠放在对方剩余部分上，这时A、B剩余部分对水平地面的压强相同，请计算其对应的比例k的值．

Answer 1

分析 （1）求出A的体积，知道A的密度，利用密度公式即可求出A的质量．
（2）根据B的质量可求出其重力，由于在水平地面上，对地面的压力等于其的重力，根据B的高度求出其面积，利用p=$\frac{F}{S}$即可求出B对水平地面的压强．
（3）由于A、B分别沿竖直方向按相同比例k截下一部分，k的值不确定，对地面的压力不同，产生的压强也不同，因此应先求出A、B压强相同时截去相同比例k的数值．

解答 解：（1）A的体积V_A=（0.2m）³=0.008m³，
由ρ=$\frac{m}{V}$得：质量m_A=ρ_AV_A=2×10³kg/m³×0.008m³=16kg．
（2）对地面的压力F_B=G_B=m_Bg=1kg×9.8N/kg=9.8N，
S_B=（0.1m）²=0.01m²，
P_B=$\frac{{F}_{B}}{{S}_{B}}$=$\frac{9.8N}{（0.1{m）}^{2}}$=980Pa．
（3）已知：没有截下一部分时；
F_A=G_A=m_Ag=16kg×9.8N/kg=156.8N，
S_A=（0.2m）²=0.04m²，S_B=（0.1m）²=0.01m²，
由于A、B分别沿竖直方向按相同比例k截下一部分，并将截下的部分分别叠放在对方剩余部分上，则
截下的部分对地面的压力分别为：
F_A′=G_A-kG_A+kG_B=（1-k）G_A+kG_B；
F_B′=G_B-kG_B+kG_A=（1-k）G_B+kG_A；
截下的部分对地面的受力面积分别为：
S_A′=S_A-kS_A=（1-k）S_A；
S_B′=S_B-kS_B=（1-k）S_B；
∵A、B剩余部分对水平地面的压强相同，即p_A′=p_B′，
∴$\frac{{F}_{A}′}{{S}_{A}′}$=$\frac{{F}_{B}′}{{S}_{B}′}$，
即：$\frac{{（1-k）G}_{A}+{kG}_{B}}{{（1-k）S}_{A}}$=$\frac{{（1-k）G}_{B}+{kG}_{A}}{{（1-k）S}_{B}}$，
∴$\frac{{G}_{A}}{{S}_{A}}$+$\frac{{kG}_{B}}{{（1-k）S}_{A}}$=$\frac{{G}_{B}}{{S}_{B}}$+$\frac{{kG}_{A}}{{（1-k）S}_{B}}$，
即：$\frac{{k}_{\;}}{{（1-k）}_{\;}}$（$\frac{{G}_{B}}{{S}_{A}}$-$\frac{{G}_{A}}{{S}_{B}}$）=$\frac{{G}_{B}}{{S}_{B}}$-$\frac{{G}_{A}}{{S}_{A}}$，
则$\frac{{k}_{\;}}{{（1-k）}_{\;}}$（$\frac{9.8N}{0.04{m}^{2}}$-$\frac{156.8N}{0.01{m}^{2}}$）=$\frac{9.8N}{0.01{m}^{2}}$-$\frac{156.8N}{0.04{m}^{2}}$
解得：k=$\frac{4}{35}$．
答：①A的质量为16kg．
②B对水平地面的压强为980Pa．
③对应的比例k的值为$\frac{4}{35}$．

点评 本题考查了压强的计算、求密度的比值、A、B上沿水平方向分别截去相同的厚度h后．A、B剩余部分对水平地面的压强P_A′和P_B′的大小关系，在解题时要记住相关公式，灵活运用密度公式解决比值问题．