Question

如图所示的直筒形容器的底面积为100cm²筒内有用密度不同的材料制成的 a、b两实心小球．已知a球的体积为80cm³，是b球体积的3.4倍．两球用细线相连能悬浮在水中．现剪断细线，a球上浮，稳定后水对容器的压强变化了40Pa．试求：
（1）细线被剪断前后水面的高度差．
（2）a、b两球的密度（g取10N/kg）

Answer 1

分析：（1）根据水对容器的压强变化利用p=ρgh即可球前后水面的高度差．
（2）根据水面的下降体积可知a球露出的体积，然后即可根据漂浮条件和阿基米德原理求出a球的浮力和重力，利用G=mg=ρVg求出a球的密度；
根据a球的体积，求出b球的体积，因为两球用细线相连能悬浮在水中，利用漂浮条件和阿基米德原理求出a和b球的重力，进而可求出b球的重力，最后利用G=mg=ρVg求出b球的密度．

解答：解：（1）∵细线被剪断前后，△p=40Pa，
∴根据p=ρgh可得：△h=

△p

ρ水g

=

40Pa

1.0×103kg/m3×10N/kg

=4×10^-3m=0.4cm；
（2）细线被剪断前后水面下降的体积为：△V=△hS=0.4cm×100cm²=40cm³；
∵细线被剪断后，a球上浮，最后漂浮，排开水的体积减小，
∴V_露=△V=40cm³=4×10^-5m³，
∴V_排=V_a-V_露=80cm³-40cm³=40cm³=4×10^-5m³，
∴G_a=F_浮=ρ_水gV_排=1.0×10³kg/m³×10N/kg×4×10^-5m³=0.4N；
∵G=mg=ρVg，
∴ρ_a=

Ga

Vag

=

0.4N

80×10-6m3×10N/kg

=0.5×10³kg/m³；
∵V_a=3.4V_b，
∴b的体积V_b=

Va

3.4

=

80cm3

3.4

≈23.5cm³=2.35×10^-5m³，
∵两球用细线相连能悬浮在水中，
∴G_总=F_浮总=ρ_水gV_排ab=1.0×10³kg/m³×10N/kg×（8×10^-5m³+2.35×10^-5m³）=1.035N；
∴G_b=G_总-G_a=1.035N-0.4N=0.635N，
∴ρ_b=

Gb

Vbg

=

0.635N

2.35×10-5m3×10N/kg

≈2.7×10³kg/m³．
答：（1）细线被剪断前后水面的高度差为0.4cm．
（2）a、b两球的密度分别为0.5×10³kg/m³、2.7×10³kg/m³

点评：本题考查了学生对物体的浮沉条件的掌握和运用，关键是明确剪断细线后水面下降的体积就等于a球的露出的体积．