Question

7．小华设计了一个三个档位的电火锅，其内部电路如图检所示，R₁、R₂为电热丝，R₃为电位器（图中用电阻器表示），通过控制开关S₁、S₂、S₃的通断可使电火锅在三个不同的档位工作，其中档位Ⅰ、Ⅱ功率较小，功率大小可通过电位器调节；档位Ⅲ功率为最大值且不可调节．
（1）说明此电路处于最大电功率档时，需要闭合的开关．
（2）为使此电火锅能在电压不足的山区使用，小华按以下要求进行设计：当电压200V，最大功率1000W；只闭合开关S₁时电路处于档位Ⅰ，功率可从100W调节到400W，请按上述要求计算出满足要求的电热丝R₁的阻值和电位器的最大电阻值R₃．
（3）接上述要求，只闭合开关S₂时，电路处于档位Ⅱ，请计算处于这个档位时通过电阻丝R₂的电流变化范围．

Answer 1

分析 （1）在电压一定时，根据P=$\frac{{U}^{2}}{R}$可知，电阻最小时，电功率最大，同样的电阻，串联时电阻最大，并联时电阻最小，结合电阻的串并联判断闭合什么开关时电路中电阻最小．
（2）由图可知，当只闭合S₁时，滑动变阻器与R₁串联；根据P=$\frac{{U}^{2}}{R}$可知，当R₃处于阻值为零处时，档位I功率为最大值400W；当R₃处于阻值最大处时，档位I功率为最小值100W；根据P=$\frac{{U}^{2}}{R}$可和电阻的串联求出满足要求的电热丝R₁的阻值和电位器的最大电阻值．
（3）当S₁，S₂，S₃都闭合时，电路的功率为最大值，根据P=$\frac{{U}^{2}}{R}$，可结合电压200V、最大功率1000W求出R₂的阻值；当只闭合开关S₂时，R₂、R₃串联，若R₃处于阻值为零处时流过电阻丝R₂的电流最大，若R₃处于阻值最大处时流过电阻丝R₂的电流最小，根据电阻的串联和欧姆定律求出最大和最小电流，即可得出处于这个档位时流过电阻丝R₂的电流的变化范围．

解答 解：（1）由电路图可知，当开关S₁，S₂，S₃闭合时，电路简化如图1，由简图可知R₁、R₂并联，电路中的电阻最小；
根据P=$\frac{{U}^{2}}{R}$可知，此电路处于最大电功率档；

（2）当只闭合S₁，电路简化如图2：

若R₃处于阻值为零处时，档位I功率为最大值：
P_大=$\frac{{U}^{2}}{{R}_{1}}$=$\frac{（200V）^{2}}{{R}_{1}}$=400W，
解得：R₁=100Ω，
若R₃处于阻值最大处时，档位I功率为最小值：
P_小=$\frac{{U}^{2}}{{R}_{1}+{R}_{3}}$=$\frac{（200V）^{2}}{100Ω+{R}_{3}}$=100W，
解得：R₃=300Ω
（3）由（1）可知，当S₁，S₂，S₃都闭合时，电路的功率为最大值：
P_总大═$\frac{{U}^{2}}{{R}_{并}}$=$\frac{（200V）^{2}}{\frac{{R}_{1}{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}}$=1000W，
将R₁=100Ω代入得：R₂≈66.67Ω；
当只闭合S₂时，电路简化如图3所示：

若R₃处于阻值为零处时，流过电阻丝R₂的电流最大：
I_大=$\frac{U}{{R}_{2}}$=$\frac{200V}{\frac{200}{3}Ω}$=3A；
若R₃处于阻值最大处时，流过电阻丝R₂的电流最小：
I_小=$\frac{U}{{R}_{2}+{R}_{3}}$=$\frac{200V}{\frac{200}{3}Ω+300Ω}$≈0.55A；
电流的变化范围约为0.55A～3A．
答：（1）此电路处于最大电功率档时，应闭合的开关是S₁，S₂，S₃；
（2）满足要求的电热丝R₁的阻值为100Ω，电位器的最大电阻值R₃为300Ω；
（3）只闭合开关S₂时，电路处于档位Ⅰ、Ⅱ时，流过电阻丝R₂的电流的变化范围为0.55A～3A．

点评 本题考查了串联电路和并联电路特点和欧姆定律的应用，关键是电功率公式的灵活运用和画出等效电路图，难点是根据电功率公式分析电火锅的档位．