Question

18．如图所示是一个水位高度控制装置的示意图，当水位到达高H时，水恰好顶起塞子A从出水孔流出，水位下降后，塞子A又把出水孔堵住，塞子A底部是半径为r的半球，半球恰好塞入出水孔中．已知球的体积公式是V=$\frac{{4π{r^3}}}{3}$，球表面面积公式是S_球=4πr²，圆面积公式是S_圆=πr²，水的密度为ρ，为满足水位高度自动控制的要求，塞子的质量应为多少？

Answer 1

分析 浸没在液体中的固态受到的浮力等于固态各表面所受液体压力的合力；我们可以先设想半球体下表面有液体，求出此时下表面受到的液体压力和半球体受到的浮力，从而求出此时液体对半球体上表面的压力．

解答 解：假设半球下表面处全部为液体，
则半球受到的浮力F_浮方向竖直向上，由阿基米德原理可知，
F_浮=ρgV_排=ρgV_半球=ρg×$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$πr³=$\frac{2}{3}$ρgπr³；
由p=$\frac{F}{S}$可知，半球下表面受到的液体压力：
F_下=p_下S_圆=p_液S_圆=ρgH×πr²，方向竖直向上，
F_上表面=F_下表面+F_浮=πr²ρgH+$\frac{2}{3}$ρgπr³，
半球恰好塞入出水口中，所以塞子的重力G=F_上表面=πr²ρgH+$\frac{2}{3}$ρgπr³，
塞子的质量应为m=$\frac{G}{g}$=$\frac{π{r}^{2}ρgH+\frac{2}{3}ρgπ{r}^{3}}{g}$=πr²ρH+$\frac{2}{3}$ρπr³=ρπr²（H+$\frac{2}{3}$r）．
答：塞子的质量应为ρπr²（H+$\frac{2}{3}$r）．

点评 本题考查浮力的计算，液体压强的计算，密度公式的应用以及压力的计算，关键是物体的受力分析．