Question

如图，轻质杠杆两端悬挂同种材料制成的大小不同的金属球时，杠杆平衡．把它们同时浸没在水中，杠杆仍然平衡，则下列说法可能正确的是（　　）

• A、两球都是实心的
• B、大球实心，小球空心
• C、大球空心，小球实心
• D、两球都空心，且空心部分体积相同

Answer 1

分析：判断两球是空心还是实心，其实就是判断两球的密度关系．那么要判断两球密度关系，我们需要根据题中条件，利用杠杆平衡条件和阿基米德原理列出两个等量关系式，然后再结合密度计算公式、重力计算公式进行推导．

解答：解：设大球的力臂为L_大，小球的力臂为L_小，大球的密度为ρ_大，小球的密度为ρ_小．
则两球在放入水中之前，根据杠杆的平衡条件可知：
G_大L_大=G_小L_小，
所以ρ_大gV_大L_大=ρ_小gV_小L_小，
则

ρ大gV大

ρ小gV小

=

L小

L大

；
当两球都浸没在水中时，根据杠杆的平衡条件可知：
（G_大-F_浮大）L_大=（G_小-F_浮小）L_小，
由阿基米德原理原理可得：
（ρ_大gV_大-ρ_水gV_大）L_大=（ρ_小gV_小-ρ_水gV_小）L_小，
则

ρ大gV大-ρ水gV大

ρ小gV小-ρ水gV小

=

L小

L大

；
综合前面两式得出：

(ρ大-ρ水)gV大

(ρ小-ρ水)gV小

=

ρ大gV大

ρ小gV小

由此可得：

ρ大-ρ水

ρ小-ρ水

=

ρ大

ρ小

，
所以（ρ_大-ρ_水）ρ_小=（ρ_小-ρ_水）ρ_大，
则ρ_大ρ_小-ρ_水ρ_小=ρ_小ρ_大-ρ_水ρ_大，那么ρ_水ρ_小=ρ_水ρ_大，所以ρ_小=ρ_大
A、当两球都是实心时，两球的密度才是相等的．
B、若大球实心，小球空心，则ρ_大＞ρ_小．
C、若大球空心，小球实心，则ρ_大＜ρ_小．
D、若两球实心，则ρ_大=ρ_小，即

m大

v大

=

m小

v小

．现在两球都是空心，且空心部分体积相同，则两球减小的质量都相同，设减小的质量都是m₀，而体积还是和原来相同，所以现在两个球的密度分别是ρ_大′=

m大-m0

v大

=

m大

v大

-

m0

v大

，ρ_小′=

m小-m0

v小

=

m小

v小

-

m0

v小

，由于

m大

v大

=

m小

v小

，所以

m大

v大

-

m0

v大

＞

m小

v小

-

m0

v小

，即ρ_大′＞ρ_小′．
故选 A．

点评：本题考查了杠杆的平衡原理以及浮力和密度知识的综合，难度比较大．解题中，要将两个球的重力、浮力通过公式展开，得出密度、g、体积和力臂的乘积，这样通过等式的建立，相等的量就可以消除，只剩下密度一个物理量．这类题要注意会运用公式进行物理量之间的推导和转化．