Question

20．宇航员站在一颗星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一个小球．经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L．若抛出时的初速度增大1倍，则抛出点与落地点之间的距离为$\sqrt{3}$L．引力常量为G．求该星球的质量M．

Answer 1

分析 根据平抛运动的规律，知初速度增大到2倍，则水平位移也增大2倍，结合几何关系求出小球落地的高度，通过平抛运动竖直方向上的运动规律求出重力加速度的大小，结合万有引力等于重力求出月球的质量M．

解答 解：设抛出点的高度为h，第一次平抛运动的水平位移为x，则h²+x²=L²①
若抛出的初速度为3倍时，则水平位移为3x   因此有：（3x）²+h²=${（\sqrt{5}L）}^{2}$②
设该星球表面的重力加速度为g，则h=$\frac{1}{2}$gt²③
联立①②③得h=$\frac{L}{\sqrt{2}}$，g=$\frac{\sqrt{2}L}{{t}^{2}}$；
根据星球表面物体重力等于万有引力mg=G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$解得：M=$\frac{g{r}^{2}}{G}$=$\frac{\sqrt{2}L{R}^{2}}{G{t}^{2}}$．
答：该星球质量为$\frac{\sqrt{2}L{R}^{2}}{G{t}^{2}}$．

点评 本题综合考查了平抛运动和万有引力的综合，知道平抛运动在水平方向上和竖直方向上的运动规律，以及掌握万有引力等于重力这一理论，并能灵活运用．