Question

4．如图所示，薄壁圆柱形容器底面积为2×10^-2米²，盛有0.3米深的水，置于水平地面上，求：
（1）容器内水的质量m_水．
（2）容器底部受到水的压力F_水．
（3）现将一个边长为a、质量为m的正方体放入在容器内的水中后（水未溢出），容器对水平面的压强增加量△p_容恰好等于水对容器底部的压强增加量△p_水，求该正方体的质量m的大小范围（用字母表示）．

Answer 1

分析 （1）已知水的深度和容器底面积，可求出水的体积，再利用密度公式可求得水的质量．
（2）因为容器为圆柱形容器，所以容器底部受到水的压力等于水的重力，利用重力公式可求．
（3）正方体放入水中后，容器对地面压力的增加量等于物体的重力，则容器对地面压强的增加量△p_容=$\frac{△F}{S}$=$\frac{{G}_{物}}{S}$；
由于水对物体的浮力和物体对水的压力是一对相互作用力，大小相等，所以水对容器底部的压力增加量△F_水=F_浮，则水对容器底部的压强增加量：△p_水=$\frac{△{F}_{水}}{S}$=$\frac{{F}_{浮}}{S}$；
由此可知G_物=F_浮，这说明正方体放入水中后处于漂浮或悬浮状态，由物体的浮沉条件可知ρ_物≤ρ_水，利用公式m=ρV可求出正方体的质量m的大小范围．

解答 解：（1）容器内水的体积：
V=Sh=2×10^-2m²×0.3m=6×10^-3m³，
容器内水的质量：
m_水=ρ_水V=1.0×10³kg/m³×6×10^-3m³=6kg；
（2）因为容器为圆柱形容器，
所以容器底部受到水的压力：
F_水=G_水=m_水g=6kg×9.8N/kg=58.8N；
（3）正方体放入水中后，水未溢出，容器对地面压力的增加量等于物体的重力，
则容器对地面压强的增加量：
△p_容=$\frac{△F}{S}$=$\frac{{G}_{物}}{S}$-----①；
由于水对物体的浮力和物体对水的压力是一对相互作用力，大小相等，
所以，正方体放入水中后，水对容器底部的压力增加量△F_水=F_浮，
则水对容器底部的压强增加量：
△p_水=$\frac{△{F}_{水}}{S}$=$\frac{{F}_{浮}}{S}$------②
由题知，△p_容=△p_水，
所以$\frac{{G}_{物}}{S}$=$\frac{{F}_{浮}}{S}$，
则G_物=F_浮，这说明正方体放入水中后处于漂浮或悬浮状态，
由物体的浮沉条件可知ρ_物≤ρ_水，
所以，该正方体的质量：m=ρ_物V=ρ_物a³≤ρ_水a³．
即该正方体的质量m的大小范围为0＜m≤ρ_水a³．
答：（1）容器内水的质量m_水为6kg；
（2）容器底部受到水的压力F_水为58.8N；
（3）该正方体的质量m的大小范围为0＜m≤ρ_水a³．

点评 本题综合考查了学生对密度公式、重力公式、压强定义式的理解和运用．解题的关键有两个：一是明确水对容器底部的压力增加量等于正方体受到的浮力；二是判断物体在水中的状态，结合浮沉条件判断出物体密度与水的密度关系．