Question

5．如图所示，将底面半径为2R的圆柱形薄壁容器（不计容器重）放在水平桌面上，把高为h、密度为ρ（ρ＜ρ_水）、半径为R的实心圆柱体木块竖直放在容器中，然后向容器内注水，则（　　）

• A． 注水前，木块对容器底的压力为ρgh
• B． 注水前，容器对水平桌面的压强为$\frac{ρgh}{2}$
• C． 若注入与木块等质量的水，那么水对容器底的压强为$\frac{ρgh}{4}$
• D． 若使木块竖直漂浮，向容器中注入水的质量至少为3πR²ρh

Answer 1

分析 （1）知道木块的底面积和高，求出木块的体积，知道木块的密度，利用m=ρV求木块的质量，利用G=mg求木块的重力，木块对容器底的压力等于木块的重力；
（2）知道受力面积，利用压强公式p=$\frac{F}{S}$求木块对容器底的压强；
（3）由于注入与木块等质量的水后，木块的状态影响水的深度，所以是否浮起是关键，利用假设法求出木块不浮起时木块受到的浮力，与木块的重力比较即可判断；
若没有浮起，则此时水的速度与木块没有浮起时的深度相同；若浮起，则水的深度为木块浸没的深度和木块下部容器中的水的深度之和；
判断出水的实际深度即可利用p=ρgh求水对容器底的压强；
（4）若使木块竖直漂浮，注入水的质量最少，即木块与容器底接触且木块对容器底的压力恰好为零，此时木块所受的浮力等于自身的重力；根据公式F_浮=ρgV_排可求木块排开水的体积；从而求出木块浸入水中的深度；根据公式V=Sh可求注入水的体积；根据公式m=ρV可求注入水的质量．

解答 解：
（1）木块的体积：V=Sh=πR²h，
由ρ=$\frac{m}{V}$得木块的质量：m=ρV=ρπR²h，
木块的重力：G=mg=ρπR²hg，
木块对容器底的压力：F=G=mg=ρπR²hg，故A错误；
（2）木块对容器底的压强：
p=$\frac{F}{S}$=$\frac{ρShg}{S}$=ρhg，故B错误；
（3）当注入与木块等质量的水，由ρ=$\frac{m}{V}$得在水的体积为：V_水=$\frac{m}{{ρ}_{水}}$=$\frac{ρSh}{{ρ}_{水}}$=$\frac{ρπ{R}^{2}h}{{ρ}_{水}}$；
假设木块没有离开容器底部，则此时水的深度为：h′=$\frac{{V}_{水}}{{S}_{容器}-{S}_{木}}$=$\frac{\frac{ρπ{R}^{2}h}{{ρ}_{水}}}{π（2R）^{2}-π{R}^{2}}$=$\frac{ρh}{3{ρ}_{水}}$；
此时木块受到的浮力F_浮′=ρ_水gV_排=ρ_水gS_木h′=ρ_水gπR²×$\frac{ρh}{3{ρ}_{水}}$=$\frac{1}{3}$ρπR²hg＜G；
即木块没有浮起，则水的实际深度为h′=$\frac{ρh}{3{ρ}_{水}}$；
所以，水对容器底的压强为p_水=ρ_水gh′=ρ_水g$\frac{ρh}{3{ρ}_{水}}$=$\frac{1}{3}$ρhg；故C错误；
（4）当木块与容器底接触且木块对容器底的压强恰好为零时，此时注入水的质量最少，
F_浮=G=mg=ρShg=ρπR²hg，
由F_浮=ρgV_排得：
木块排开水的体积：
V_排=$\frac{{F}_{浮}}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{ρπ{R}^{2}hg}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{ρπ{R}^{2}h}{{ρ}_{水}}$，
木块浸入水中的深度：
h_水=$\frac{{V}_{排}}{{S}_{木}}$=$\frac{\frac{ρπ{R}^{2}h}{{ρ}_{水}}}{π{R}^{2}}$=$\frac{ρh}{{ρ}_{水}}$，
注入水的体积为：
V_水=（S_容器-S_木）h_水=[π（2R）²-πR²]×$\frac{ρh}{{ρ}_{水}}$=3πR²$\frac{ρh}{{ρ}_{水}}$；
注入水的质量：
m_水=ρ_水V_水=ρ_水3πR²$\frac{ρh}{{ρ}_{水}}$=3πR²ρh，故D正确．
故选D．

点评 本题为力学综合题，考查了学生对密度公式、重力公式、压强公式、阿基米德原理、物体的漂浮条件的掌握和运用，难点在第三问，关键是注入的水深度的判断，就是利用假设法根据木块是否浮起得出水的实际深度；难点在第四问，知道使物体对容器底的压力为零时浮力等于重力是本题的关键．