如图所示.渗水井的排水管的管口.恰好是一块底面积为0.2m2．高为0.3m的圆柱形石块盖严.渗水井中有1.5m深的水不能排放.小明站在地面上通过滑轮组将石块提出渗水井.当石块被提起.并在水中以v1的速度匀速上升时.小明对绳子的拉力为F1.小明拉绳的功率为P1.滑轮组的机械效率为75%.当水被全部排出.石块以v2速度匀速竖直上升时.小明对� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

7．

如图所示，渗水井的排水管的管口，恰好是一块底面积为0.2m²．高为0.3m的圆柱形石块盖严，渗水井中有1.5m深的水不能排放，小明站在地面上通过滑轮组将石块提出渗水井，当石块被提起，并在水中以v₁的速度匀速上升时，小明对绳子的拉力为F₁，小明拉绳的功率为P₁，滑轮组的机械效率为75%，当水被全部排出，石块以v₂速度匀速竖直上升时，小明对绳子的拉力为F₂，小明拉绳的功率为P₂，已知v₁：v₂=4：3，P₁：P₂=8：9，g取10N/kg不计绳的质量和滑轮与轴的摩擦，求：
（1）石块未提起时，水对石块顶部的压力；
（2）石块被提起，并在水中匀速上升时受到的浮力；
（3）石块密度．

分析（1）求出石块顶部处的深度，可利用公式P=ρgh计算出水对石块顶部的压强，又知道石块A的受力面积，可利用公式F=pS计算出水对石块顶部的压力．
（2）石块被提起，浸没水中，排开水的体积等于石块的体积，利用阿基米德原理求受到的水的浮力；
（3）当石块被提起，并在水中运动时，不计绳的质量和滑轮与轴的摩擦，η₁=$\frac{{W}_{有用}}{{W}_{总}}$=$\frac{（G-{F}_{浮}）h}{（G-{F}_{浮}+{G}_{轮}）h}$=$\frac{G-{F}_{浮}}{G-{F}_{浮}+{G}_{轮}}$，F₁=$\frac{1}{3}$（G-F_浮+G_轮），求出拉力端移动的速度，可得拉力做功功率；
当水全被排出，不计绳的质量和滑轮与轴的摩擦，F₂=$\frac{1}{3}$（G+G_轮），求出拉力端移动的速度，可得拉力做功功率；
已知v₁：v₂=4：3，P₁：P₂=8：9，列方程求出G与G_轮的关系，代入效率公式求出石块重力，利用G=mg求其质量，再利用密度公式求石块的密度．

解答解：
（1）石块顶部处的深度：
h=1.5m-0.3m=1.2m，
水对石块顶部的压强为：
p=ρ_水gh=1.0×10³kg/m³×10N/kg×1.2m=1.2×10⁴Pa，
而S=0.2m²，
水对石块顶部的压力：
F=pS=1.2×10⁴Pa×0.2m²=2400N；
（2）石块被提起，浸没水中，排开水的体积：
V_排=V=0.2m²×0.3m=0.06m³，
受到的水的浮力：
F_浮=ρ_水V_排g=1×10³kg/m³×0.06m³×10N/kg=600N，
（3）当石块被提起，并在水中运动时，不计绳的质量和滑轮与轴的摩擦，
η₁=$\frac{{W}_{有用}}{{W}_{总}}$=$\frac{（G-{F}_{浮}）h}{（G-{F}_{浮}+{G}_{轮}）h}$=$\frac{G-{F}_{浮}}{G-{F}_{浮}+{G}_{轮}}$，-----①
F₁=$\frac{1}{3}$（G-F_浮+G_轮），----②
拉力端移动的速度
v_1F=3v₁，
P₁=F₁v_1F，-----③
当水全被排出，不计绳的质量和滑轮与轴的摩擦，
F₂=$\frac{1}{3}$（G+G_轮），----④
拉力端移动的速度
v_2F=3v₂，
P₂=F₂v_2F，-----⑤
已知v₁：v₂=4：3，
v_1F：v_2F=4：3，
因为P=Fv，将③④代入得：
所以P₁：P₂=F₁v_1F：F₂v_2F=8：9，
（F₁×4）：（F₂×3）=8：9，
F₁：F₂=2：3，将②④代入得：
$\frac{1}{3}$（G-F_浮+G_轮）：$\frac{1}{3}$（G+G_轮）=2：3，
（G-F_浮+G_轮）：（G+G_轮）=2：3，
3（G-F_浮+G_轮）=2（G+G_轮），
G_轮=3F_浮-G，代入①得：
η₁=$\frac{G-{F}_{浮}}{G-{F}_{浮}+{G}_{轮}}$=$\frac{G-{F}_{浮}}{G-{F}_{浮}+3{F}_{浮}{-G}_{\;}}$=$\frac{G-{F}_{浮}}{2{F}_{浮}}$，
75%=$\frac{G-600N}{2×600N}$，
解得G=1500N，
石块的质量：
m=$\frac{G}{g}$=$\frac{1500N}{10N/kg}$=150kg，
石块的密度：
ρ=$\frac{m}{V}$=$\frac{150kg}{0.06{m}^{3}}$=2.5×10³kg/m³．
答：（1）石块未提起时，水对石块顶部的压力为2400N；
（2）石块被提起，在水中匀速上升时受到的浮力为600N；
（3）石块密度为2.5×10³kg/m³．

点评本题为力学综合题，考查了液体压强的计算、压强定义式的应用、浮力的计算、使用滑轮组拉力的计算、功率的计算等知识，难点在第三问，求出两种情况下（石块在水中、在空中）的拉力、速度、功率，利用题目提供的条件得出石块重力和动滑轮重力的大小关系是关键．

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