Question

13．如图所示，底面积为5×10^-3m²的圆筒形容器，高0.3m，装有体积是7×10^-4m³的水，水底有一静止的棱长为L=5cm的正方体实心铝块，已知g=10N/kg，ρ_水=1.0×10³kg/m³，ρ_铝=2.7×10³kg/m³．求：
（1）水对筒底的压强；
（2）铝块受到的支持力；
（3）近来科学家研制出一种更轻的泡沫铝，密度为ρ₂，且ρ₂小于ρ_水，欲使铝块离开水底，可以给铝块粘贴一块实心泡沫铝，求泡沫铝的最小质量．（最后结果用物理量符号表示）

Answer 1

分析 （1）根据容器内水的体积和铝块的体积求出水的深度，利用液体压强公式求水对容器底的压强；
（2）根据铝块的受力分析可知，铝块受到的支持力等于铝块的重力与浮力的之差，据此求之；
（3）欲使铝块离开水底，则根据浮沉条件可知，它们受到的浮力大于它们受到的重力，然后根据重力公式和阿基米德原理列式解得．

解答 解：
（1）容器内水的体积是V，且放入一个边长为L的正方体实心铝块，则水的深度为h′=$\frac{V+{L}^{3}}{S}$=$\frac{7×{10}^{-4}{m}^{3}+{（0.05m）}^{3}}{5×{10}^{-3}{m}^{2}}$=0.165m，
所以水对容器底的压强p=ρ_水gh′=1.0×10³kg/m³×10N/kg×0.165m=1650Pa；
（2）铝块的重力G=mg=ρ_水gV_铝=ρ_水gL³=2.7×10³kg/m³×10N/kg×（0.05m）³=3.375N，
浮力F_浮=ρ_水gV_铝=ρ_水gL³=1.0×10³kg/m³×10N/kg×（0.05m）³=2.25N，
因为铝块静止水底，所以F_浮+N=G，
则N=G-F_浮=3.375N-1.25N=2.125N；
（3）欲使铝块离开水底，则F_浮+F_浮2≥G+G₂，
即：ρ_水gL³+ρ_水gV₂≥ρ_铝gL³+m₂g，
所以，ρ_水L³+ρ_水$\frac{{m}_{2}}{{ρ}_{2}}$≥ρ_铝L³+m₂，
解得：m₂≥ρ₂L³$\frac{{ρ}_{铝}-{ρ}_{水}}{{ρ}_{水}-{ρ}_{2}}$．
答：（1）水对筒底的压强为1650Pa；
（2）铝块受到的支持力为2.125N；
（3）泡沫铝的最小质量为ρ₂L³$\frac{{ρ}_{铝}-{ρ}_{水}}{{ρ}_{水}-{ρ}_{2}}$．

点评 本题考查了学生对密度公式、液体压强公式的掌握和运用，要注意容器的高度是已装水和水里的铝块引起的，所以确定水位是易错点！对于欲使铝块离开水底的问题，可以根据实心泡沫铝在水中产生的浮力减去本身的重力等于铝块对底部产生的压力来计算泡沫铝的最小质量．