Question

小明设计了一个公厕中的自动冲刷厕所的水箱．这种水箱能把自来水管持续供给的较小流量的水储备到一定量后，自动开启放水阀，这样就可用较大水量冲刷便池中的污物．图6为这种水箱的结构示意图，已知水箱底为边长l=40cm的正方形，A是一直径d₁=8cm的圆形放水阀门，其质量和厚度均可忽略不计，且恰好能将排水管口及连杆与浮子B相连，连杆的长度h=10cm．浮子B是一外部直径d₂=8cm、高H=30cm、质量m=0.4kg的空心圆柱体，设水箱每次放水都能将水箱中的水全部放净，试通过计算说明：
（1）水箱体至少多高，水才不会从水箱上部溢出？
（2）如果自来水管的流量为0.2m³/h，该水箱某次放水结束到下次开始放水的时间间隔为几分钟？

Answer 1

【答案】分析：（1）浮子B对阀门A产生一个向上的拉力，这个拉力使浮子A向上运动造成阀门A打开，水向外流出．
①以浮子B为研究对象，对其受力分析：其受到的向下的重力、连杆对其向下拉力和向上的浮力．其处于平衡状态，从而可以得到三者的关系．进而可以得到连杆拉力和水的高度的关系式；
②以阀门A为研究对象，它是一个以左端为支点的杠杆．动力为连杆对其向上的拉力，动力臂等于其直径；阻力为水对它向下的压力，其作用点在其圆心上，因此阻力臂为其半径．根据杠杆的平衡条件可以得到连杆拉力和水的高度的关系式．
两者联立可以求得水的高度．
（2）当水箱内的水高度达到设计高度时，水箱内的水就向外排出，因此水管中流出的水的体积等于水箱内水达到设计高度时的体积时，所用的时间就是间隔的放水时间．
解答：解：（1）已知：h=10cm=0.1m，d₂=8cm=0.08m，m=0.4kg，ρ_水=10³kg/m³，d₁=8cm=0.08m，g=10N/kg．
设水箱中水面高度为h时，连杆对阀门A的拉力为T，此时阀门刚好可被拉开．
此时浮子B浸入水中的深度是：h-h，
排开的水的体积是：V_排=S（h-h）=π（）²（h-h）
受到的浮力：F_浮=ρ_水gπ（）²（h-h）
对浮子B根据平衡条件有：mg+T=F_浮=ρ_水gπ（）²（h-h）…①
即：0.4kg×10N/kg+T=10³kg/m³×10N/kg×π×（）²（h-0.1m）…②
对放水阀门A根据杠杆的平衡条件有：Td₁=ρ_水gπ（）²h
即：T×0.08m=10³kg/m³×10N/kg×π×（）²×h×0.04m …③
联立②③式可解得：h≈0.36m．
所以水箱体的高度要至少为0.36m．
（2）已知：边长l=40cm，Q=0.2m³/h．
当水位达到设计高度时，水箱内水的体积为：V_箱=l²h=（0.4m）²×0.36m=0.058m³          
自来水管的流量Q=0.2m³/h  蓄满一箱水所用时间
t===0.29h=17.4min                        
所以，水箱放水的时间间隔约17.4min．
答：：（1）水箱体至少0.36m，水才不会从水箱上部溢出．
（2）如果自来水管的流量为0.2m³/h，该水箱某次放水结束到下次开始放水的时间间隔为17.4分钟．
点评：此题综合了二力平衡的条件、液体压强的计算、阿基米德原理、杠杆的平衡条件等多个知识点，综合性较强，题目的难度较大．
在此题的第一问中，两次确定研究对象，得到关于连杆拉力和水的深度的关系式是解决此题的难点．