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精英家教网我校高中部建筑工地运来一个边长为a的正方体重物箱,某工人欲用一根粗细均匀的铁棒把重物箱撬起一个很小的角度(如图所示,图中的角度已被放大).已知:铁棒单位长度受到的重力为P;重物箱受到的重力为G(重物箱的密度均匀).工人将铁棒的一端插入箱底,在另一端施加一个向上的力撬动重物箱.如果插入的长度为箱宽的四分之一,并保持该长度不变,请你通过计算帮他分析,当选用的铁棒长度满足什么条件时,施加的力最小?这个最小的力是多少?
分析:由题可知,铁棒的重力提供一部分阻力,作用点在铁棒的重心上,阻力臂为
L
2
;因重物箱的密度均匀且铁棒插入的长度为箱宽的四分之一,则一半物重提供阻力,阻力臂为
a
4
;力F提供动力,动力臂为L.在动力和阻力的作用下,杠杆平衡.由杠杆的平衡条件求出关于F的表达式,则由数学知识要求得F的最小值及取最小值时L的长度.
解答:精英家教网解:设铁棒长为L,动力为F.由题可知铁棒的重力提供的阻力,作用点在铁棒的重心上,阻力臂为
L
2
;因重物箱的密度均匀且铁棒插入的长度为箱宽的四分之一,则重物的一半重力提供阻力(即只有一半的重力压在杠杆上),阻力臂为
a
4
;力F提供动力,动力臂为L.由杠杆的平衡条件得
F1L1=F2L2
 
a
4
?
G
2
+LP?
L
2
=LF

解得人对杠杆的力F=
aG
8
+
pL2
2
L
=
aG
8L
+
p
2
L

由数学知识a2+b2≥2ab,当a=b时取最小值,可得
aG
8L
=
P
2
L
时,即L=
1
2
aG
p
时F有最小值.
F的最小值为:F=
1
2
aGP

答:当选用的铁棒长度为L=
1
2
aG
P
时,施加的力最小;这个最小的力是F=
1
2
aGP
点评:本题是关于杠杆平衡条件的应用,关键点是结合题意:把重物箱撬起一个接近于0°的角度,准确找出阻力臂和动力臂.由于解题时需要用到数学上的知识,属于综合性较强的题目.
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