Question

16．如图所示电路，设电源电压不变，灯 L的规格为“24V 24W”，且灯丝电阻不随温度变化，滑动变阻器的规格为“100Ω 1A”，电流表的量程为 0～3A．移动滑片使滑动变阻器的阻值为R₁且保持不变，在保证电路安全的情况下操作如下：当闭合开关S₁、S₄，断开开关S₂、S₃时，电流表的示数为I₁，电压表的示数为U₁，电路消耗的总功率为P₁．当开关S₁、S₂、S₃、S₄都断开时，电流表的示数为I₂，电路消耗的总功率为P₂．当只断开开关S₄时，电压表示数为U₂．已知P₁=6.75W，P₂=4.5W，U₁：U₂=5：8．求：
（1）灯L的电阻；
（2）电流I₁：I₂；
（3）电阻R₂的值；
（4）通过开关的断开与闭合以及滑动变阻器滑片位置的改变，使整个电路的总功率最大，求这个总功率．

Answer 1

分析 （1）根据灯L的规格为“24V 24W”表示的含义，由P=UI=$\frac{{U}^{2}}{R}$求灯的电阻；
（2）根据P=UI，因电源电压不变，故电功率之比等于电流之比求解；
（3）分析三种情况下电路的连接画出等效图，由U₁：U₂=5：8．根据串联电路电压的规律和分压原理，得出R₁与R₂的关系；根据在电压不变时，通过的电流与电阻成反比，对比图1和2，得出得出R₁与R₂的关系，解方程组从而得出R₁与R₂的大小；
（4）在图1中，根据电阻的串联规律和P=UI=$\frac{{U}^{2}}{R}$求出电压电压：
当电路的总电阻最小时，总电流最大，根据P=UI，电路的总功率最大，
根据并联电路的总电阻小于其中任一电阻，串联的电阻大于其中任一电阻，故在类似图3的电路中，并联的总电阻才可能最小，总电流才可能达到最大，根据欧姆定律，分别求出通过灯和R₂的电流，由变阻器允许通过的最大电流，根据并联电路电流的规律，求出此时电路允许的最大电流并与电流表允许通过的最大电流比较，由欧姆定律，可求出变阻器连入电路中的电阻．
最终确定开关的断开与闭合和变阻器连入电路中的电阻大小，并求出这个最大总功率．

解答 解：（1）灯L的规格为“24V 24W”，表示灯的电压为24V，额定功率为24W，
根据P=UI=$\frac{{U}^{2}}{R}$可得，灯L的电阻：
R_L=$\frac{{{U}_{L}}^{2}}{{P}_{L}}$=$\frac{（24V）^{2}}{24W}$=24Ω；
（2）因电源电压不变，根据P=UI可知，两种情况下电流之比等于总功率之比：
$\frac{{I}_{1}}{{I}_{2}}$=$\frac{{P}_{1}}{{P}_{2}}$=$\frac{6.75W}{4.5W}$=$\frac{3}{2}$；
（3）当闭合开关S₁、S₄，断开开关S₂、S₃时，R₁与R₂串联，电压表测R₁的电压，电压表的示数为U₁，电流表的示数为I₁，如图1所示：

电路消耗的总功率为P₁=6.75W；
当开关S₁、S₂、S₃、S₄都断开时，灯与R₁和R₂串联，电压表测R₁的电压，电流表的示数为I₂，如图2所示，电路消耗的总功率为P₂=4.5W；
当只断开开关S₄时，灯与R₁和R₂三个电阻并联，电压表测R₁的电压，如图3所示，即电源电压为U₂．
因U₁：U₂=5：8，即$\frac{{U}_{1}}{U}$=$\frac{5}{8}$，
在图1中，根据串联电压电路电压的规律可得：
$\frac{{U}_{1}}{{U}_{1}{+U}_{R2}}$=$\frac{5}{8}$，即$\frac{{U}_{1}}{{U}_{R2}}$=$\frac{5}{3}$，
根据分压原理可得：$\frac{{R}_{1}}{{R}_{2}}$=$\frac{5}{3}$---------①，
对比图1和2，因（2）中$\frac{{I}_{1}}{{I}_{2}}$=$\frac{3}{2}$，在总电压不变时，电路中的电流与总电阻成反比，
所以有：$\frac{{I}_{1}}{{I}_{2}}$=$\frac{3}{2}$=$\frac{{R}_{L}+{R}_{1}+{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$，
整理得：R₁+R₂=48Ω-----------②
联立①②解方程得：R₁=30Ω，R₂=18Ω；
（4）在图1中，根据电阻的串联，电路的总电阻：
R_串1=R₁+R₂=30Ω+18Ω=48Ω；
根据P=$\frac{{U}^{2}}{R}$可得，电源电压：
U=$\sqrt{{P}_{1}×{R}_{串1}}$=$\sqrt{6.75W×48Ω}$=18V；
根据P=UI可知，当电路的总电流最大时（即总电阻最小），电路的总功率最大，
电流表的量程为 0～3A，根据并联电路的总电阻小于其中任一电阻，串联的总电阻大于其中任一电阻，故在类似图3的电路中，并联的总电阻才可能最小，总电流才可能达到最大，
根据欧姆定律可得，通过灯和R₂的电流分别为：
I_L′=$\frac{U}{{R}_{L}}=\frac{18V}{24Ω}$=0.75A，I_R2=$\frac{U}{{R}_{2}}$=$\frac{18V}{18Ω}$=1A，
滑动变阻器的规格为“100Ω 1A”，则变阻器允许通过的最大电流为1A，
根据并联电路电流的规律可得，干路的最大电流：
I_大=I_滑大+I_L′+I_R2=1A+0.75A+1A=2.75A＜3A，
此时由欧姆定律可得，变阻器连入电路中的最小电阻：
R_滑小=$\frac{U}{{I}_{大}}=\frac{18V}{1A}$=18Ω，
因此，只断开开关S₄，且将变阻器连入电路中的电阻为18Ω时，图3中电路的总电流最大，总功率最大，
这个最大总功率：
P_大=UI_大=18V×2.75A=49.5W．
答：（1）灯L的电阻为24Ω；
（2）电流I₁：I₂为3：2；
（3）电阻R₂的值为18Ω；
（4）通过开关的断开与闭合以及滑动变阻器滑片位置的改变，使整个电路的总功率最大，这个总功率为49.5W．

点评 本题考查串联、并联电路的规律及欧姆定律和电功率公式的运用，解题的关键是正确画出等效图，搞清各量之间的关系，综合性强，难度大，为压轴题．