Question

6．用同种材料制成的两个圆柱体A和B，A的高度是B的高度的3倍，A放在B上，B放在地面上，如图甲所示，A对B的压强和B对地面的压强相等，则A与B的底面积之比为2：3；现将A和B倒置，如图乙所示，则A对地面的压强与B对A的压强之比为3：1

Answer 1

分析 （1）已知A的高度是B的高度的3倍和压强相同，又因为密度相同可求出体积之比，从而算出底面积之比．
（2）A、B对地面的压力等于自身的重力，已知底面积之比，根据公式F=pS可求对地面的压力之比，也就是重力之比；
把B叠放在A上后，A对地面的压力等于A、B的重力之和，根据公式p=$\frac{F}{S}$求出此时A对地面的压强，进一步求出p_A′与p_B′之比．

解答 解：（1）A对B的压强p_A=$\frac{{G}_{A}}{{S}_{A}}$=$\frac{{m}_{A}g}{{S}_{A}}$=$\frac{{ρ}_{A}g{S}_{A}{h}_{A}}{{S}_{A}}$=ρgh_A，
B对地的压强p_B=$\frac{{G}_{A}+{G}_{B}}{{S}_{B}}$=$\frac{ρg{S}_{A}{h}_{A}+ρg{S}_{B}{h}_{B}}{{S}_{B}}$=$\frac{ρ{S}_{A}{h}_{A}g}{{S}_{B}}$+ρh_Bg，
因为p_A=p_B，
ρgh_A=$\frac{ρ{S}_{A}{h}_{A}g}{{S}_{B}}$+ρh_Bg，①
又因为h_A=3h_B，
所以ρg3h_B=$\frac{ρ{S}_{A}3{h}_{B}g}{{S}_{B}}$+ρh_Bg，②
①②整理可得$\frac{{S}_{A}}{{S}_{B}}$=$\frac{{h}_{A}-{h}_{B}}{{h}_{A}}$=$\frac{3-1}{3}$=$\frac{2}{3}$                               
（2）现将A和B倒置，则A对地面的压强p_A′=$\frac{{G}_{A}{+G}_{B}}{{S}_{A}}$
B对A的压强p_B′=$\frac{{G}_{B}}{{S}_{A}}$，
$\frac{{p}_{A}^{′}}{{p}_{B}^{′}}$=$\frac{{S}_{A}}{{S}_{A}}$×$\frac{{G}_{A}+{G}_{B}}{{G}_{B}}$=（$\frac{{G}_{A}}{{B}_{B}}$+1）=（$\frac{ρg{S}_{A}{h}_{A}}{ρg{S}_{B}{h}_{B}}$+1）=（$\frac{2}{3}$×$\frac{3}{1}$+1）=3．
故答案为：2：3；3：1．

点评 本题考查压强的大小之比，关键是压强公式及其变形的灵活运用，要知道在水平面上物体对地面的压力等于物体自身的重力．