Question

如图所示，两平面镜A和B之间的夹角为9°自平面镜B上的某点P射出一条与B镜面成β角的光线，在β角由0°至180°范围内（不包括0°）连续变化的过程中，发现当β取某角度时，光线经镜面一次或多次反射后，恰好能返回到P点，则符合该要求的β的个数有（　　）

A．1个

B．4个

C．6个

D．9个

Answer 1

分析：两平面镜A和B之间的夹角为α，自平面镜B上的某点P射出一条与B镜面成θ角的光线，在θ角由0°至180°范围内（不包括0°）连续变化的过程中，发现当θ取某角度时，光线经镜面一次或多次反射后，恰好能返回到P点，则把180分解成两个整数相乘，有几种分解方法就有几个要求的．

解答：解：此题有两种解法：
（1）当θ取某角度时，光线经镜面一次或多次反射后，恰好能返回到P点，则把180分解成两个整数相乘，把180度分解成几个整数相乘，就有几个符合该要求的β的个数．
则180°=90°×2=60°×3=45°×4=36°×5=30°×6=20°×9=18°×10=15°×12=180°×1．
共有9个． 
（2）可按以退求进法解，因为入射光线与镜子的夹角为90垂直时即可原路返回．所以一次反射就能返回则，β=90-α=90-9=81．若2次反射后返回则，β=90-2α=90-2×9=72，三次则β=90-3α=63．这样第四次，第五次，第六次，第七次，第八次分别都可以按照β=90-nα算出来．到当第九次时β=9，此时若第十次则为负了，所以不可能再有第十次．
故选D．

点评：此题主要考查光的反射定律，因光线经镜面一次或多次反射后，恰好能返回到P点，所以就是要求我们把180°分解成两个整数相乘，此题有一定难度，是一道竞赛题．