Question

14．如图甲所示，已知电源电压为60V且保持不变，电阻R₁标有“35V 245W”的字样，R₂是一个最大阻值为70Ω的滑动变阻器，电阻R₃的额定电流为7A（不计温度对电阻的影响）．求：

（1）R₁的阻值；
（2）R₁正常工作100s消耗的电能；
（3）闭合S，当R₂的阻值为R_m时，V₁的示数为U₁，V₂的示数为U₂；当R₂的阻值为R₀时，V₁的示数为U′₁，V₂的示数为U′₂；已知U′₁=$\frac{3}{4}$U₁，U′₂=$\frac{9}{10}$U₂，U₁=$\frac{4}{5}$U₂，求R₃的阻值；
（4）在电路安全的前提下，小天同学用以上器材组成一个如乙图所示的电路：在R₁、R₂和R₃ 中任选两个电阻分别连入电路的“AB”和“CD”处，组成不同的电路，在同一电路中两个电阻的功率之差如果超过200W，电路外的检测装置将自动报警，请通过计算和推导，判断哪些电路始终不会导致检测装置报警，哪些电路会导致检测装置报警，并计算报警时R₂的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由P=$\frac{{U}^{2}}{R}$计算R₁的阻值；
（2）由P=$\frac{W}{t}$计算R₁正常工作100s消耗的电能；
（3）由图知，三个电阻串联，电压表V₁测R₁和R₂的电压，电压表V₂测R₃和R₂的电压，根据串联电路中电流、电压特点和欧姆定律表示出R₂连入不同阻值时R₁和R₃的电流，解方程可得U₁、U₂，从而计算出R₃的阻值；
（4）分析将三个电阻接入AB和CD处，由三个电阻的规格和两电阻功率差要求，根据电路特点和电功率计算分析判断．

解答 解：
（1）由题知R₁的额定电压和额定功率，由P=$\frac{{U}^{2}}{R}$可得R₁的阻值：
R₁=$\frac{{U}_{额}^{2}}{{P}_{额}}$=$\frac{（{35V）}^{2}}{245W}$=5Ω；
（2）由P=$\frac{W}{t}$可得R₁正常工作100s消耗的电能：
W=P_额t=245W×100s=2.45×10⁴J；
（3）由图甲知，三个电阻串联，电压表V₁测R₁和R₂的电压，电压表V₂测R₃和R₂的电压，
由串联电路特点当R₂的阻值为R_m时：I_R1=I_R3，
欧姆定律有：$\frac{U-{U}_{2}}{{R}_{1}}$=$\frac{U-{U}_{1}}{{R}_{3}}$…①
因为U₁=$\frac{4}{5}$U₂，所以：$\frac{U-{U}_{2}}{{R}_{1}}$=$\frac{U-\frac{4}{5}{U}_{2}}{{R}_{3}}$，即：$\frac{60V-{U}_{2}}{{R}_{1}}$=$\frac{60V-\frac{4}{5}{U}_{2}}{{R}_{3}}$…②
同理，当R₂的阻值为R₀时，I_R1′=I_R3′，
$\frac{U-{U}_{2}′}{{R}_{1}}$=$\frac{U-{U}_{1}′}{{R}_{3}}$，
因为U′₁=$\frac{3}{4}$U₁，U′₂=$\frac{9}{10}$U₂，所以：$\frac{U-\frac{9}{10}{U}_{2}}{{R}_{1}}$=$\frac{U-\frac{3}{4}{U}_{1}}{{R}_{3}}$=$\frac{U-\frac{3}{4}×\frac{4}{5}{U}_{2}}{{R}_{3}}$=$\frac{U-\frac{3}{5}{U}_{2}}{{R}_{3}}$，即：$\frac{60V-\frac{9}{10}{U}_{2}}{{R}_{1}}$=$\frac{60V-\frac{3}{5}{U}_{2}}{{R}_{3}}$…③
②÷③得：$\frac{3}{25}$U₂²-6U₂=0，
解得：U₂=50V，
所以：U₁=$\frac{4}{5}$U₂=$\frac{4}{5}$×50V=40V；
将U₁、U₂代入①可得：R₃=2R₁=2×5Ω=10Ω；
（4）已知R₁的额定电压35V，额定功率245W，由P=UI可得R₁正常工作电流：I₁=$\frac{{P}_{额}}{{U}_{额}}$=$\frac{245W}{35V}$=7A；
变阻器最大值R₂=70Ω；R₃=10Ω，额定电流I₃=7A．
电阻分别连入电路的“AB”和“CD”处两电阻串联，
①若将R₁和R₃分别接入AB、CD间，由串联电路特点和欧姆定律可得电路中电流：
I=$\frac{U}{{R}_{1}+{R}_{3}}$=$\frac{60V}{5Ω+10Ω}$=4A，
由P=I²R可得：P₃-P₁=I²R₃-I²R₁=（4A）²×10Ω-（4A）²×5Ω=80W＜200W，不会导致检测装置报警；
②若将R₁和R₂分别接入AB、CD间，电路中最大电流I=I₁=7A，此时变阻器连入阻值最小，
此时R₁正常工作，即P₁=245W，
P₂=U₂I=（U-U_额）I=（60V-35V）×7A=175W，
P₁-P₂=245W-175W=70W＜200W，
由串联电路特点和欧姆定律以及电功率公式有：
R₂的功率：P₂=I²R₂=（$\frac{U}{{R}_{1}+{R}_{2}}$）²×R₂=$\frac{{U}^{2}{R}_{2}}{（{{R}_{1}-{R}_{2}）}^{2}+4{R}_{1}{R}_{2}}$
当R₁=R₂=5Ω时R₂的功率有最大值，P_2最大=$\frac{{U}^{2}{R}_{2}}{4{R}_{1}{R}_{2}}$=$\frac{（{60V）}^{2}×5Ω}{4×5Ω×5Ω}$=180W，
此时R₁的功率：P₁=P_2最大=180W，两电阻功率差不超过200W；
③若将R₂和R₃分别接入AB、CD间，
若连入阻值为0，功率为0，则P₃=$\frac{{U}^{2}}{{R}_{3}}$=$\frac{（60V）^{2}}{10Ω}$=360W，两电阻功率差大于200W，检测装置会报警；
两电阻功率差不超过200W，
由串联电路特点、欧姆定律和电功率公式有：
P₃-P₂=I²R₃-I²R₂=I²（R₃-R₂）=（$\frac{U}{{R}_{3}+{R}_{2}}$）²（R₃-R₂）≤200W，
即：（$\frac{60V}{10Ω+{R}_{2}}$）²（10Ω-R₂）≤200W，
解得：R₂≥2Ω、R₂≥-40Ω（舍去），
所以报警时变阻器R₂的取值范围为0-2Ω．
答：（1）R₁的阻值为5Ω；
（2）R₁正常工作100s消耗的电能为2.45×10⁴J；
（3）R₃的阻值为10Ω；
（4）R₁和R₃、R₁和R₂分别接入电路始终不会导致检测装置报警，R₂和R₃分别接入电路会导致检测装置报警，报警时R₂的取值范围0-2Ω．

点评 本题考查了串联电路特点、欧姆定律电功率公式的应用，正确识别电路的连接方式和电压表所测电压，充分利用串联电路特点和R₂取值不同情况下电压表示数关系是解题的关键．本题计算计算量大，过程复杂，有相当的难度．