Question

【题目】一质量为200g的柱形容器由A、B两部分组成，底部通过阀门相连通，且两部分底面积之比SA:SB=1:2，在A中有一底面积为100cm2，高为20cm，密度为0.4×103kg/m3圆柱体M，M底部中心位置通过一条长度为10cm的细绳与A的底部紧密相连，最初阀门紧闭，容器两部分均装有一定量的水，如图，此时M对容器底部的压强为200Pa，A中水的质量为0.6kg，容器对水平桌面的压强为2500Pa（g取10N/kg）。求：

(1)最初M对容器底的压力；

(2)打开阀门，当B中水对容器底部的压强减小300Pa时，物体M克服重力做功多少J？

(3)打开阀门后，当A、B中水静止不流动时，细线对M的拉力为多大？

Answer 1

【答案】(1)2N；(2)0.4J；(3)8N。

【解析】

(1)根据固体压强公式的变形公式求解；

(2)通过对最初状态的圆柱体M受力分析，求解出其受到的浮力，应用阿基米德原理解出此时水的深度，接着运用密度及体积公式求出容器A、B的底面积；然后将B中减少的水转换到A中，求出此时A中水的体积（此处判断细绳是否处于绷直状态），根据M的漂浮状态求出其液面以下的高度，将圆柱体M等效成等质量的水，进而求出A中所有水（包含等效水）的深度，则可求出圆柱体M上升的高度，根据最终求出克服重力做的功；

(3)根据先求解容器、圆柱体M以及水的总重，进而求出所有水的质量、体积；将水分成圆柱体M底面以下部分和以上部分，根据几何关系解出此时圆柱体M液面以下的高度，应用阿基米德原理求出此时M的浮力，通过对圆柱体M受力分析最后求出细线对M的拉力。

(1)根据固体压强公式可得，最初M对容器底的压力：

；

(2)圆柱体M的质量：

，

最初M受到的浮力：

，

根据可知，最初M排开水的体积：

则最初A容器中水的深度为：

，

最初A容器中水的体积为：

，

则A容器的底面积为：

，

B容器的底面积为：

，

当B中水对容器底部的压强减小300Pa时，根据可知，B中水的减少量为：

，

此时A中水的总质量为：

，

则A中水的总体积为：

，

假设细绳处于绷直状态，则至少需要水的体积为：

，

所以细绳未达到绷直状态，此时M处于漂浮状态，其重力与浮力平衡，则有

，

根据可知排开水的体积为：

，

则此时M浸入液面以下的高度为：

，

则此时A中水的深度为：

，

所以M上升的高度为：

，

物体M克服重力做功为：

；

(3)根据可知，容器、圆柱体M以及水的总重为：

，

则容器中所有水的质量为：

，

水的总体积为：

，

细绳处于拉伸状态时，圆柱体M底面以下部分的水的体积为：

，

则上部剩余水的体积为：

，

此时圆柱体M浸入水中的高度为：

，

圆柱体M受到的浮力为：

，

对圆柱体M进行受力分析可知，细线对M的拉力为：

。

答：(1)最初M对容器底的压力为2N；(2)打开阀门，当B中水对容器底部的压强减小300Pa时，物体M克服重力做功0.4J；(3)打开阀门后，当A、B中水静止不流动时，细线对M的拉力为8N。