Question

（2013?黄石）（1）配置适当密度的盐水，可以用来为某些农作物选种，把种子放在盐水中，漂浮的种子是不饱满的，沉底的种子是饱满的，请说明道理．
（2）研究表明，某盐水的密度ρ随深度h而变化，变化规律为ρ=ρ₀+kh，式中ρ₀=1.0×10³kg/m³，k=1.0×10³ kg/m⁴，向此盐水中投放两个用一根轻细线系着的小球A和B，两小球体积均为1cm³，两球质量分别为m_A=1.2g，m_B=1.4g，如果每个球在溶液中都处于静止状态，两球球心相距L=10cm，线是拉紧的且不拉断．（假设盐水足够深且小球所在处的盐水密度取球心对应深度处的密度值，取g=10N/kg）求：
①A球球心所处的深度值？
②A球所在处盐水的压强是否可以计算？如果能，请列出计算此处压强的表达式；如果不能，请说明理由？
③细线对小球的拉力？

Answer 1

分析：（1）①物体的沉浮条件是ρ_液＞ρ_物时，物体上浮；ρ_液=ρ_物时，物体悬浮；ρ_液＜ρ_物时，物体下沉．②饱满种子密度大、不饱满种子密度小．
（2）①设A球所处深度为h_A，B球所处深度为h_B，因为m_A＜m_B，所以h_B=h_A+0.1m，根据物体的悬浮条件列方程求得A、B球所处的深度；
②③利用ρ_B=ρ₀+kh_B求出B球处的密度，利用阿基米德原理求出B球受到的浮力，因为B球静止，所以G_B=F_B+F_拉，据此求绳子中拉力大小．

解答：解：（1）在质量一定时，饱满种子的体积要比不饱满的种子的体积小，由密度公式ρ=

m

V

知：饱满种子的密度大；
根据物体的浮沉条件知：密度大的饱满种子会下沉，而密度小的不饱满种子会上浮，最终漂浮在水面上．
（2）①设A球所处深度为h_A，B球所处深度为h_B，由于m_A＜m_B，所以B球应在A球下方；
则：h_B=h_A+0.1m，
将A、B看作整体，根据物体的悬浮条件可得：
F_浮A+F_浮B=G_A+G_B，
即：ρ_AgV_A+ρ_BgV_B=m_Ag+m_Bg，
（ρ₀+kh_A）V+（ρ₀+kh_B）V=m_A+m_B，
2ρ₀V+2kh_AV+k×0.1m×V=m_A+m_B，
即：2×1×10³kg/m³×1×10^-6m³+2×0.01×10⁵kg/m⁴×h_A×1×10^-6m³+0.01×10⁵kg/m⁴×0.1m×1×10^-6m³=2.6×10^-3kg，
解得：
h_A=0.25m=25cm，
②A球所在处盐水的压强不能计算，因为随着深度的变化液体密度是变化的，不能利用p=ρgh计算，若要计算可以求平均值．
③这时，h_B=h_A+0.1m=0.25m+0.1m=0.35m；
ρ_B=ρ₀+kh_B=1×10³kg/m³+0.01×10⁵kg/m⁴×0.35m=1.35×10³kg/m³，
B球受到的浮力：
F_B=ρ_BgV_B=ρ_BgV=1.35×10³kg/m³×10N/kg×1×10^-6m³=0.0135N，
B球重：
G_B=m_Bg=0.0014kg×10N/kg=0.014N，
∵G_B=F_B+F_拉，
∴F_拉=G_B-F_B=0.014N-0.0135N=0.0005N．
答：（1）密度大的饱满种子会下沉，而密度小的不饱满种子会上浮，最终漂浮在水面上．
A球球心所处的深度为0.25m；
②不能，因为随着深度的变化液体密度是变化的，不能利用p=ρgh计算，若要计算可以求平均值．
③细线对小球的拉力为0.0005N．

点评：（1）该题是密度知识和物体浮沉条件的实际应用，正确判别出饱满种子、不饱满种子和盐水的密度关系，是正确解题的前提．
（2）本题考查了学生对重力公式、阿基米德原理、物体的悬浮条件的掌握和运用，应根据题干将AB球看做一个整体处理或分别对AB球进行分析，要细心！