Question

（2009?朝阳区一模）小阳同学在科技月制作了一个多档位电热器模型．为了分析接入电路的电阻对电热器的电功率的影响，他将电表接入电路中，其电路如图所示，电源两端电压不变，R₁=30Ω．当开关S闭合，S₁、S₂ 断开时，电压表示数为U₁，当S、S₁、S₂都闭合时，电压表示数为U₂，已知U₁：U₂=3：8；两种状态时，R₂消耗的功率最大值P_大和最小值
P_小之比为4：1；R₃的最小功率为0.9W．请你帮小阳完成下列问题．
（1）画出上述两个状态的等效电路图；
（2）计算电阻R₂的阻值；
（3）计算电源两端的电压；
（4）计算这个电热器模型中间两个挡位的功率分别是多少；
（5）计算电流表的最大示数是多少．

Answer 1

分析：（1）根据开关的断开或闭合状态，按照电流的流向，画出等效电路图；
（2）根据电压表的示数之比得出并联时通过电阻R₁的电流I₁和串联时电路中电流I的关系，再根据R₂消耗的功率最大值P_大和最小值P_小之比得出并联时通过电阻R₂的电流I₂和串联时电路中电流I的关系；最后根据并联电路的电流与电阻的特点，列出电阻R₁与R₂的关系式，即可求出R₂的阻值；
（3）先根据前面得出的R₁、R₂的阻值，求出R₃的阻值，再根据R₃的最小功率，求出串联时的电流值，利用欧姆定律即可得到电源电压；
（4）根据欧姆定律公式和电功率的公式得到的功率变形式P=

U2

R

即可求得两个挡位的功率；
（5）并联时，电流表的示数是通过电阻R₁、R₂的电流之和，这时示数最大，根据并联电路的特点即可求得．

解答：解：（1）当开关S闭合，S₁、S₂ 断开时，电阻逐个顺次连接，组成串联电路；当S、S₁、S₂都闭合时，电流分三路分别流入电阻，即为并联连接；两个状态的等效电路图如图：
（2）当开关S闭合，S₁、S₂ 断开时，三电阻串联，根据欧姆定律可知，电路中的电流最小，各电阻消耗功率最小，
电压表测量的是电阻R₁两端的电压；
三个开关都闭合时，三电阻并联，各电阻两端的电压为电源电压，则消耗功率最大，电压表测量的是电源电压，
即U₂=U，
串联时电路中电流为I，U₁=IR₁，R₂消耗的功率最大为P_小=I²R₂，
并联时U=I₁R₁，R₂消耗的功率最小为P_大=I₂²R₂，
则由U₁：U₂=3：8可知：U₁：U=3：8，

U1

U

=

IR1

I1R1

=

I

I1

=

3

8

，
∴I₁=

8

3

I--------------------------------①
由R₂消耗的功率最大值P_大和最小值P_小之比为4：1可知：

P小

P大

=

I 2   R2

I 2 2 R2

 =(

I

I2

)2，即(

I

I2

)2=

P小

P大

=

1

4

，
∴

I

I2

=

1

2

，
∴I₂=2I-------------------------------②
∴并联时，

R2

R1

=

I1

I2

=

8 3 I

2I

=

4

3

，
∴R₂=

4

3

R₁=

4

3

×30Ω=40Ω．
答：电阻R₂的阻值为40Ω．
（3）串联时，

U

U1

=

R1+R2+R3

R1

=

8

3

R₃=

5R1-3R2

3

=

5×30Ω-3×40Ω

3

=10Ω
I=

P1串 R3

=

0.9W 10Ω

=0.3A
U=I（R₁+R₂+R₃）=0.3A×（30Ω+40Ω+10Ω）=24V
答：电源两端的电压为24V．
（4）这个电热器模型中间两个挡位的功率，
P1=

U2

R1

=

(24V)2

30Ω

=19.2W，
P3=

U2

R3

=

(24V)2

10Ω

=57.6W，
答：这个电热器模型中间两个挡位的功率分别是19.2W，57.6W．
（5）I₁=

8

3

I=

8

3

×0.3A=0.8A；I₂=2I=2×0.3A=0.6A
电流表最大示数为I₁+I₂=0.8A+0.6A=1.4A．
答：电流表的最大示数为1.4A．

点评：此题主要考查了有关电功率、欧姆定律的计算及应用．做这类题目时关键是能够分析出开关的闭合对电路引起的变化，画出等效电路图，同时要能够根据已知条件列出相应的关系式，从而逐步求解或组成方程组进行求解．