Question

15．在生产玻璃过程中，常用位于天车上的卷扬机（其内部有电动机提供动力）通过滑轮组和真空吸盘提升玻璃，如图甲所示．当卷扬机通过滑轮组提升质量为60kg的玻璃并使玻璃以速度v₁匀速上升时，卷扬对滑轮组绳端的拉力为F₁，天车对卷扬机的支持力为N₁，拉力为F₁的功率为P₁，滑轮组的机械效率为η；当卷扬机通过滑轮组提升质量为80kg的玻璃并使玻璃以速度v₂匀速上升时，卷扬机对滑轮组的拉力F₂，天车对卷扬机的支持力为N₂．拉力为F₂的功率为P₂，已知拉力F₁所做功随时间变化的图象如图乙所示，卷扬机的质量为120kg，滑轮A、B的质量均为4kg，3v₁=5v₂，η=75%，吸盘和绳的质量及滑轮与轴的摩擦均可忽略不计，g取10N/kg．求：
（1）卷扬机通过滑轮组提升质量为60kg的玻璃，2s内做多少功？
（2）卷扬机通过滑轮组提升质量为60kg的玻璃过程中，卷扬机做功的功率．
（3）卷扬机通过换轮组提升质量为60kg的玻璃过程中，有用功的功率
（4）v₁的大小
（5）P₂的功率
（6）滑轮C的质量
（7）F₁的大小
（8）F₁与F₂的比值
（9）N₁的大小
（10）N₁与N₂的比值．

Answer 1

分析 （1）根据图象读出F₁ 所做的功和做功时间
（2）根据公式P=$\frac{W}{t}$，求出F₁的功率；
（3）已知第一次提升的玻璃m₁=60kg，η=75%，根据公式η=$\frac{{W}_{有用}}{{W}_{总}}$=$\frac{{P}_{有用}t}{{P}_{总}t}$=$\frac{{P}_{有用}}{{P}_{总}}$可求得有用功的功率
（4）根据$\frac{{P}_{有用}}{{P}_{总}}$=$\frac{{m}_{1}g{v}_{1}}{{P}_{总}}$求出v₁，
（5）根据3v₁=5v₂，求出v₂；根据受力分析图求得F2，根据P=Fv求得P₂的功率；
（6）设动滑轮C所受重力为G₀，根据η=$\frac{{W}_{有用}}{{W}_{总}}$=75%，可求得滑轮C的质量；
（7）画出受力分析图，根据力的合成可求得F₁和F₂的大小；
（8）根据（7）和（8）求得F₁和F₂的数值，可求得F₁与F₂的比值；
（9）F′₁=F₁，由图中的（3）可得N₁=F′₁+mg，可求得；
（10）首先对提升玻璃过程中，玻璃、动滑轮C、动滑轮B和卷扬机进行受力分析，根据滑轮组的特点求出天车对卷扬机的支持力N₁和N₂的值，进而求出N₁与N₂的比值．

解答 解：（1）由题中W-t图象可知拉力F₁所做功W_总=960J，做功时间t=2s，
（2）所以拉力F₁所做功的功率P=$\frac{{W}_{总}}{t}$=$\frac{960J}{2s}$=480W；
（3）已知第一次提升的玻璃m₁=60kg，η=75%，
根据公式η=$\frac{{W}_{有用}}{{W}_{总}}$=$\frac{{P}_{有用}t}{{P}_{总}t}$=$\frac{{P}_{有用}}{{P}_{总}}$=$\frac{{P}_{有用}}{480W}$=75%，
解得P_有用=360W，
（4）根据公式η=$\frac{{W}_{有用}}{{W}_{总}}$=$\frac{{P}_{有用}t}{{P}_{总}t}$=$\frac{{P}_{有用}}{{P}_{总}}$=$\frac{{P}_{有用}}{480W}$=$\frac{{m}_{1}g{v}_{1}}{480W}$=75%，
解得：v₁=0.6m/s，
（5）因为3v₁=5v₂，所以：v₂=$\frac{3}{5}$v₁=$\frac{3}{5}$×0.6m/s=0.36m/s；
由右图可得F₂=$\frac{1}{2}$（T′₂+m_Bg）=$\frac{1}{2}$（$\frac{880}{3}$N+4kg×10N/kg）=$\frac{500}{3}$N，
则P₂的功率P₂=F₂v₂=$\frac{500}{3}$N×0.36m/s=60W，
（6）设动滑轮C所受重力为G₀，滑轮B的m_B=4kg，卷扬机提升m₁=60kg玻璃时，滑轮组的机械效率为η=75%
所以有η=$\frac{{W}_{有用}}{{W}_{总}}$=$\frac{{m}_{1}g}{{m}_{1}g+{G}_{0}+3{m}_{B}g}$=$\frac{60kg×10N/kg}{60kg×10N/kg+{G}_{0}+3×4kg×10N/kg}$=75%，解得G₀=80N；
（7）第一次提升m₁=60kg玻璃的过程中，玻璃、动滑轮C受力分析如右图（1）所示，动滑轮B受力分析如右图（8）所示，卷扬机受力分析如右图（3）所示；
第二次提升m₂=80kg玻璃的过程中，玻璃、动滑轮C受力分析如右图（4）所示，动滑轮B受力分析如右图（5）所示，卷扬机受力分析如右图（6）所示；
（8）由右图（1）的受力分析可知T₁$\frac{1}{3}$（m₁g+G₀）=$\frac{1}{3}$（60kg×10N/kg+80N）=$\frac{680N}{3}$N，
因T′₁=T₁，由右图（2）可得F₁=$\frac{1}{2}$（T′₁+m_Bg）=$\frac{1}{2}$（$\frac{680}{3}$N+4kg×10N/kg）=$\frac{400}{3}$N，
同理，由右图（4）可得T₂=$\frac{1}{3}$（m₂g+G₀）=$\frac{1}{3}$（80kg×10N/kg+80N）=$\frac{880N}{3}$N，
因T′₂=T₂，由右图（5）可得F₂=$\frac{1}{2}$（T′₂+m_Bg）=$\frac{1}{2}$（$\frac{880}{3}$N+4kg×10N/kg）=$\frac{500}{3}$N，
则$\frac{{F}_{1}}{{F}_{2}}$=$\frac{\frac{400}{3}N}{\frac{500}{3}N}$=$\frac{4}{5}$，
（9）因F′₁=F₁，由右图（3）可得N₁=F′₁+mg=$\frac{400}{3}$N+120kg×10N/kg=$\frac{4000}{3}$N，
（10）因F′₂=F₂，由右图（6）可得N₂=F′₂+mg=$\frac{500}{3}$N+120kg×10N/kg=$\frac{4100}{3}$N；
所以$\frac{{N}_{1}}{{N}_{2}}$=$\frac{\frac{400}{3}N}{\frac{4100}{3}N}$=$\frac{40}{41}$．
答：（1）卷扬机通过滑轮组提升质量为60kg的玻璃，2s内做960J功；
（2）卷扬机通过滑轮组提升质量为60kg的玻璃过程中，卷扬机做功的功率为480W．
（3）卷扬机通过换轮组提升质量为60kg的玻璃过程中，有用功的功率为360W
（4）v₁的大小为0.6m/s；
（5）P₂的功率为60W；
（6）滑轮C的质量为80N；
（7）F₁的大小为$\frac{400N}{3}$
（8）F₁与F₂的比值为4：5；
（9）N₁的大小为$\frac{4000N}{3}$
（10）N₁与N₂的比值为40：41．

点评 本题为力学综合题，要求灵活利用所学知识、选用所学公式，利用好滑轮组的特点，能从图象得出相关信息是本题的关键，难题！