Question

2．甲、乙分别是密度为ρ₁、ρ₂的两个金属圆柱体，甲对乙的压强等于它们对水平桌面的压强．若把甲、乙两圆柱体熔炼成一个合金圆柱体，则该圆柱体底面积为s，高为h，当它放在水平桌面上时对桌面的压强为p，则甲，乙两金属圆柱体的高度之比h_甲：h_乙=p（ρ₂-ρ₁）：ρ₁（p-ρ₁gh）．

Answer 1

分析 根据密度公式表示出圆柱体甲、乙的质量关系，根据合金的体积和质量关系表示出圆柱体乙额体积；
由于水平面上物体的压力和自身的重力相等，根据压强公式表示出甲对乙的压强和它们对水平桌面的压强，根据压强相等得出得出等式，整理等式即可求出两圆柱体的高度之比．

解答 解：甲、乙分别是密度为ρ₁、ρ₂，则甲、乙物体的质量：m_甲=ρ₁V_甲，m_乙=ρ₂V_乙；
由于把甲、乙两圆柱体熔炼成一个合金圆柱体，则该圆柱体底面积为s，高为h，
则V_合金=V_甲+V_乙，即：V_甲+V_乙=Sh--------------①
当它放在水平桌面上时对桌面的压强为P，则G=F=pS，所以m=$\frac{G}{g}$=$\frac{pS}{g}$，
由于熔炼成一个合金圆柱体，总质量不变，
则：m_甲+m_乙=m，即：ρ₁V_甲+ρ₂V_乙=$\frac{pS}{g}$----------②
由①②联立可得：
V_乙=$\frac{pS-Sh{ρ}_{1}g}{{（ρ}_{2}-{ρ}_{1}）g}$；
由于甲是金属圆柱体，则甲对乙的压强p_甲=ρ₁h_甲g，
由于水平面上物体的压力和自身的重力相等，甲叠放在乙上时，则乙对桌面的压力：
F_总=G=pS，
则甲和乙对水平桌面的压强：
p_乙=$\frac{{F}_{总}}{{S}_{乙}}$=$\frac{pS}{{S}_{乙}}$=$\frac{pS}{\frac{{V}_{乙}}{{h}_{乙}}}$=$\frac{pS{h}_{乙}}{{V}_{乙}}$，
由于p_甲=p_乙，则ρ₁h_甲g=$\frac{pS{h}_{乙}}{{V}_{乙}}$，
整理得：$\frac{{h}_{甲}}{{h}_{乙}}$=$\frac{pS}{{ρ}_{1}g{V}_{乙}}$=$\frac{pS}{{ρ}_{1}g\frac{pS-Sh{ρ}_{1}g}{（{ρ}_{2}-{ρ}_{1}）g}}$=$\frac{p（{ρ}_{2}-{ρ}_{1}）}{{ρ}_{1}（p-{ρ}_{1}gh）}$．
故答案为：p（ρ₂-ρ₁）：ρ₁（p-ρ₁gh）．

点评 本题涉及合金的体积、质量的计算和压强的大小及其计算，涉及的知识点很多，但是有一定的拔高难度，特别要注意的是压力和受力面积的对应性．