Question

一个体积为V的实心长方体，放入水里，静止时长方体能浮在水面．现将它露出水面的部分切去，再把它剩余部分放入水里．若要求长方体剩余部分静止时，露出水面的体积V’与长方体的体积V的比值为最大，则长方体的密度为多少？

Answer 1

设体积为V的实心体静止在水面时，水下体积为V₁，实心体密度为ρ₁；
根据浮力公式，F_浮=G_排=ρ_水V_排g；
得出等式 ρ₁Vg=ρ_水V₁g；
即V₁=

ρ1V

ρ水

削掉浮出水面部分后，浮在水面的体积为V'，即水下部分为V₁-V'
根据浮力公式得出以下等式：ρ₁V₁g=（V₁-V'）ρ_水g
即 V'=(1-

ρ1

ρ水

)V₁；
要

V′

V

最大，把各个数值代入即

(1- ρ1 ρ水 )ρ1

ρ水

最大，设

ρ1

ρ水

=X； Y=（1-X）X最大，
得X=

1

2

，即

ρ1

ρ水

=

1

2

；
ρ₁=

1

2

ρ_水．
所以，当实心体密度等于

1

2

水密度时，

V′

V

最大．