Question

5．将质量相等的小球甲、乙分别轻轻放入盛满水和酒精的大烧杯中，静止后从大烧杯中溢出水的质量为m₁；从大烧杯中溢出酒精的质量为m₂．已知ρ_酒精=0.8×10³kg/m³，m₁：m₂=9：8，甲、乙物体的密度之比为4：5，则甲、乙物体受到的浮力之比为9：8，乙物体的密度为0.9×10³ kg/m³．

Answer 1

分析 根据F_浮=G_排可求得甲、乙物体受到的浮力之比；解题时先做出4种假设：①若甲乙都漂浮，②若甲乙都浸没（悬浮或下沉），③若甲漂浮在水面、乙浸没（悬浮或下沉），④若甲浸没（悬浮或下沉）、乙漂浮在酒精面，然后进行分析讨论，然后得出答案．

解答 解：
（1）小球甲放入盛满水的大烧杯中，甲静止后从大烧杯中溢出水的质量为m₁；
则小球甲受到的浮力F_浮甲=G_排甲=m₁g；
小球乙放入盛满酒精的大烧杯中，乙静止后从大烧杯中溢出酒精的质量为m₂；
则小球乙受到的浮力F_浮乙=G_排乙=m₂g；
甲、乙物体受到的浮力之比：
F_甲：F_乙=$\frac{{G}_{排甲}}{{G}_{排乙}}$=$\frac{{m}_{1}g}{{m}_{2}g}$=$\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}$=$\frac{9}{8}$；
（2）甲乙两物体的质量相等，密度之比ρ_甲：ρ_乙=4：5，
由密度变形公式V=$\frac{m}{ρ}$可知V_甲：V_乙=5：4；
①若甲乙都漂浮，浮力等于小球的重力，小球的重力相等，则此时浮力之比为1：1，不符合题意，不存在这种状态；
②若甲乙都浸没（悬浮或下沉），则V_排=V_物，
此时浮力之比：F_甲：F_乙=$\frac{{ρ}_{水}{V}_{甲}g}{{ρ}_{酒精}{V}_{乙}g}$=$\frac{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×5×g}{0.8×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×4×g}$=25：16，不符合题意，不存在这种状态；
③若甲漂浮在水面，甲受到的浮力等于物体重；乙浸没（悬浮或下沉），乙受到的浮力小于或等于物体重，所以乙受到的浮力小于或等于甲受到的浮力，受到的浮力之比可能为9：8，符合题意，存在这种状态：
甲漂浮在水面，则F_甲=mg=ρ_甲V_甲g；乙浸没在酒精中，则F_乙=ρ_酒精V_乙g；
浮力之比F_甲：F_乙=$\frac{{ρ}_{甲}{V}_{甲}g}{{ρ}_{酒精}{V}_{乙}g}$=$\frac{{ρ}_{甲}×5×g}{0.8×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×4×g}$=$\frac{9}{8}$，
解得ρ_甲=0.72×10³kg/m³，
因为ρ_甲：ρ_乙=4：5，
所以ρ_乙=$\frac{5×{ρ}_{甲}}{4}$=0.9×10³kg/m³．
④若甲浸没（悬浮或下沉），甲受到的浮力小于或等于物体重；乙漂浮在酒精面，乙受到的浮力等于物体重，所以甲受到的浮力小于或等于乙受到的浮力，而受到的浮力之比为9：8，不符合条件，不存在这种状态．
故答案为：9：8；0.9×10³．

点评 本题是一道典型的分类讨论题，在解题时能否预设物体的浮沉状态，进行分析讨论是本题的解题关键．