Question

（2013?安徽）如图，A、B两地相距4km，MN是与AB连线平行的一条小河的河岸，AB到河岸的垂直距离为3km，小军要从A处走到河岸取水然后送到B处，他先沿着垂直于河岸的方向到D点取水，再沿直线DB到B处．若小军的速度大小恒为5km/h，不考虑取水停留的时间．
（1）求小军完成这次取水和送水任务所需的时间．
（2）为了找到一条最短中路线（即从A到河岸和从河岸到B的总路程最短），可以将MN看成一个平面镜，从A点作出一条光线经MN反射后恰能通过B点，请你证明入射点O即为最短路线的取水点．

Answer 1

分析：（1）已知AB间的距离是4km，AB到河岸的距离（AD）是3km，可以计算出DB间的距离，此时便可知道小军要走的路程了，又知速度，根据v=

s

t

变形计算出所需时间；
（2）利用平面镜成像的特点：像与物关于平面镜对称，作出发光点A的像点A′，根据反射光线反向延长通过像点，可以由像点和B点确定反射光线所在的直线，两点之间，直线最短．

解答：解：（1）如下图所示，小军通过的路程是s_AD+s_DB，
此时，s_AB=4km，s_AD=3km，根据勾股定理可知，s_DB=5km，

故小军通过的路程s=s_AD+s_DB=3km+5km=8km，
∵v=

s

t

∴所需的时间：
t=

s

v

=

8km

5km/h

=1.6h；
（2）作出发光点A关于平面镜的对称点，即为像点A′，连接A′、B点交平面镜于点O，沿OB画出反射光线，连接AO画出入射光线，如图所示，图中O就是入射点；

①由图可知，A′B的连线是直线，两点之间，直线最短，即此时A′B之间的距离（s_A′O+s_OB）最短；
②根据平面镜成像的特点可知，此时s_AD=s_A′D，且Rt△ADO与Rt△A′DO有一条公共边DO，故可知Rt△ADO≌Rt△A′DO，即s_AO=s_A′O；
故s_AO+s_OB=s_A′O+s_OB；
即此时O点是最短路线的取水点．
 答：（1）小军完成这次任务需1.6小时；
（2）如上所述，入射点O为最短路线的取水点．

点评：本题利用平面镜成像的特点，并结合数学知识，解决实际问题（取水路线最短），综合性较强，是中考考查的热点问题．