Question

1．在图（a）所示的电路中，电阻值均为R，则A、B两点之间的等效电阻R_AB=$\frac{7}{12}$R．在图（b）所示的有限网络中，每一小段导体的电阻值均为R，则A、B两点之间的等效电阻R_AB=$\frac{6}{11}$R．

Answer 1

分析 （a）画出AB间电阻的等效电电路，结合电阻串并联和欧姆定律可得总电阻；
（b）垂直于AB做直线，直线上各点等电势，可以直接短路，然后根据并联电路的电阻规律解答．

解答 解：（a）电阻编号如图：

AB间等效电路为：
，
设电源电压为U，电路中的干路电流为I，则等效电阻 R_等=$\frac{U}{I}$，对1、2、3、4、5、6、7组成的部分，设靠近A端的电阻R两端的电压为k_U（0＜k＜1为待定系数），则靠近B端的电阻R两端的电压同样是kU，则两电阻2R两端的电压都为（1-k）U，中间电阻2两端的电压应为（1-2k）U．
考虑节点电流，流入电流等于流出电流，则有：
（1-k）$\frac{U}{2R}$+（1-2k）$\frac{U}{R}$=k$\frac{U}{R}$，
解得：
k=$\frac{3}{7}$，
则总电流：
I=k$\frac{U}{R}$+（1-k）$\frac{U}{2R}$，
带入k=$\frac{3}{7}$，可得：I=$\frac{5U}{7R}$，带入R_等=$\frac{U}{I}$ 得：
R_等=$\frac{7}{5}$R，
故可知AB等效电阻为：$\frac{1}{{R}_{AB}}$=$\frac{1}{\frac{7}{5}R}$+$\frac{1}{R}$，
解得：
R_AB=$\frac{7}{12}$R．
（b）垂直于AB做直线，AB的垂直平分线上的四个点等电势，可以直接短路；

可以看出AB间等效电阻$\frac{1}{{R}_{AB}}$=$\frac{R}{2}$$+\frac{R}{4}$+$\frac{R}{6}$+$\frac{R}{6}$+$\frac{R}{4}$$+\frac{R}{2}$，
解得R_AB=$\frac{6}{11}$R．
故答案为：$\frac{7}{12}$R；$\frac{6}{11}$R．

点评 该题首先要会画等效电路图；能掌握节点电流法是关键因素，结合串并联知识解决．