Question

12．如图，电源电压不变，闭合开关S，断开开关S₁，调节滑动变阻器R₂滑片P至中点．电压表V₁的示数U₁，电流表的示数I₁为0.2A，闭合开关S，S₁，此时小灯泡L正常发光，电流表的示数为I₂=0.5A，闭合开关S，断开开关S₁，调节滑动变阻器R₂滑片P至B端，电压表V₂的示数为U₂，电阻R₁的功率是小灯泡额定功率的$\frac{2}{9}$倍，调节滑动变阻器R₂滑片P使接入电路的滑动变阻器阻值为最大值的$\frac{3}{4}$时，电路消耗的总功率为P=1W．已知5U₁=6U₂，灯丝电阻不随温度变化，求
（1）电阻R₁和灯丝电阻R₁的比；
（2）小灯泡L的额定功率；
（3）通过闭合、断开开关和调节滑动变阻器，电路消耗的最大功率和最小功率之比．

Answer 1

分析 （1）闭合开关S，开关S₁断开时，灯泡、R₁、接入电路的电阻值为其最大值的一半的滑动变阻器R₂串联，V₁测灯泡两端的电压；闭合开关S、S₁时，电路为灯泡的简单电路；根据欧姆定律求出灯泡两端的电压之比，利用5U₁=6U₂求出R₁和灯泡的电压之比，进一步根据欧姆定律求出电阻R₁和灯丝电阻R_L的比值．
（2）根据闭合开关S，开关S₁断开时，灯泡两端的电压与电阻R₁、滑动变阻器两端电压之和的比值，进一步求出滑动变阻器的最大阻值与灯泡电阻的比值；根据电源的电压不变，求出闭合开关S断开开关S₁，调节滑动变阻器R₂的滑片P使接入电路的电阻值为其最大值的$\frac{3}{4}$时电路中的电流；根据电路消耗的总功率和P=UI求出电源的电压，进一步求出小灯泡L的额定电功率．
（3）求出电路最大功率与最小功率，然后求出最大与最小功率之比．

解答 解：当开关S闭合、S₁断开，滑动变阻器R₂接入电路电阻为其最大值一半时，电路如图甲所示；当开关S、S₁均闭合时，电路如图乙所示；当开关S闭合，断开开关S₁，滑动变阻器R₂的滑片P在B端时，电路如图丙所示；再调节滑动变阻器R₂的滑片P使其接入电路电阻为其最大值$\frac{3}{4}$时，电路如图丁所示．

（1）由图甲、乙得：通过的电流分别为I₁=0.2A，I₂=0.5A，
灯泡两端的电压分别为U₁=I₁R_L，U=I₂R_L，
电压之比为$\frac{{U}_{1}}{U}$=$\frac{2}{5}$，
因5U₁=6U₂，所以$\frac{{U}_{2}}{U}$=$\frac{1}{3}$，
由丙图可得：$\frac{{R}_{1}}{{R}_{1}+{R}_{L}}$=$\frac{1}{3}$，
解得：$\frac{{R}_{1}}{{R}_{L}}$=$\frac{1}{2}$--------------①；
（2）由图甲得：$\frac{{R}_{L}}{{R}_{1}+\frac{{R}_{2}}{2}}$=$\frac{{U}_{1}}{U-{U}_{1}}$
解得：2R₁+R₂=3R_L-------------②
由①②解得：$\frac{{R}_{2}}{{R}_{L}}$=$\frac{2}{1}$，
由图乙、丁得，电源电压：U=I₂R_L=I₄（R₁+$\frac{3{R}_{2}}{4}$+R_L），解得：I₄=$\frac{1}{6}$A，
因P=UI₄=1W，解得：U=6V，则P_额=UI₂=6V×0.5A=3W．
（3）当开关S、S₁均闭合时，只有灯泡接入电路，此时灯泡正常发光，电路功率最大，P_最大=P_额=3W；
已知：$\frac{{R}_{1}}{{R}_{L}}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{{R}_{2}}{{R}_{L}}$=$\frac{2}{1}$，则：R₁=$\frac{1}{2}$R_L，R₂=2R_L，
由图甲所示可知，I₁=$\frac{U}{{R}_{1}+\frac{{R}_{2}}{2}+{R}_{L}}$=$\frac{U}{\frac{1}{2}{R}_{L}+\frac{2{R}_{L}}{2}+{R}_{L}}$=$\frac{2U}{5{R}_{L}}$=$\frac{2×6V}{5{R}_{L}}$=0.2A，
则R_L=12Ω，R₁=$\frac{1}{2}$R_L=$\frac{1}{2}$×12Ω=6Ω，R₂=2R_L=2×12Ω=24Ω，
当开关S闭合、S₁断开，滑动变阻器滑片置于A端时，R₂阻值全部接入电路，等效电路图如图所示：

此时电路总功率最小，电路最小功率：
P_最小=$\frac{{U}^{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}+{R}_{L}}$=$\frac{（6V）^{2}}{6Ω+24Ω+12Ω}$=$\frac{6}{7}$W，
最大功率与最小功率之比：$\frac{{P}_{最大}}{{P}_{最小}}$=$\frac{3W}{\frac{6}{7}W}$=$\frac{7}{2}$；
答：（1）电阻R₁和灯丝电阻R_L的比值为1：2；
（2）小灯泡L的额定电功率为3W；
（3）电路消耗的最大功率和最小功率之比为7：2．

点评 此题是有关欧姆定律、电功率的综合计算题目．在解题过程中，注意电路的分析，根据已知条件分析出各种情况下的等效电路图，同时要注意在串联电路中各物理量之间的关系，结合题目中给出的已知条件进行解决．