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    已知球体的体积公式是v=
    4
    3
    πr3，其中r为球体的半径．如图11所示，在一个大的空心球腔内放有一实心小球，空心球腔和实心小球是由同一种物质组成的．空心球腔的外半径为R，内半径为
    2R
    3
    ，实心小球的半径为
    R
    3
    ．若将整个球体放入水中，则空心球腔有
    1
    3
    的体积露出水面．求：
    （1）制成空心球腔和实心小球的物质的密度；
    （2）若在空心球腔内注满水后，再把整个球体放入水中，整个球体浮出水面的体积和空心球腔壁对实心小球的作用力．
    分析：（1）根据“球体的体积公式是v=
    4
    3
    πr3”，可分别求出球腔实心部分的体积和实心小球的体积，然后可得其质量表达式，因为空心球漂浮在水面上，所以利用ρ水gV排=Mg即可求出物质的密度．
    （2）求出空腔内注水质量m，然后可知注满水的球腔和小秋的总质量M′，从而可知球腔一体仍然是漂浮，然后可知排开水的体积
    V
    ′
    排
    和露出水面的体积，因小球平衡，因此在求腔内会受到球腔对其向下的压力F=F浮=mg即可．
    解答：解：由“空心球腔的外半径为R”，空心球腔的体积为V=
    4
    3
    πR3，球腔实心部分的体积V1=
    4
    3
    π    [R3-(
    2R
    3
    )    3    ]=
    76πR3
    81
    ，
    实心小球的体积V2=
    4
    3
    π(
    R
    3
    )    3    =
    4πR3
    81

    所以他们的质量M=ρ（V1+V2）=
    ρ80πR3
    81
    …①，
    已知“若将整个球体放入水中，则空心球腔有
    1
    3
    的体积露出水面”，则漂浮在水中排开水的体积V排=
    2
    3
    V    =
    8
    9
    πR3…②，
    因为空心球漂浮在水面上，所以ρ水gV排=Mg…③，
    将①②代入③得ρ=900kg/m3．
    答：制成空心球腔和实心小球的物质的密度为900kg/m3．
    （2）空腔内注水质量m=ρ水
    4
    3
    π[(
    2R
    3
    )    3    -(
    R
    3
    )    3    ]=
    28ρ水πR3
    81
    ，
    所以注满水的球腔和小球的总质量
    M′=M+m=
    ρ80πR3
    81
    +
    28ρ水πR3
    81
    =
    900kg/m3×80πR3
    81
    +
    1000kg/m3×28πR3
    81
    =
    100000πR3
    81

    M′=
    72ρ水πR3
    81
    +
    28ρ水πR3
    81
    =
    100
    81
    ρ水πR3＜
    4
    3
    ρ水πR3，
    所以球腔一体仍然是漂浮，则排开水的体积
    V
    ′
    排
    =
    M′
    ρ水
    =
    100πR3
    81
    ，
    所以露出水面的体积为V-
    V
    ′
    排
    =
    4
    3
    πR3-
    100πR3
    81
    =
    8πR3
    81
    （占球腔总体积的
    2
    27
    ），
    小球平衡，因此在球腔内会受到球腔对其向下的压力F，
    F=F浮-mg=
    ρ水g4πR3
    81
    -
    ρg4πR3
    81
    =
    1.0×103kg/m3×10N/kg×4πR3
    81
    -
    900kg/m3×10N/kg×4πR3
    81

    =
    4000πR3
    81
    ．
    答：整个球体浮出水面的体积为
    8πR3
    81
    （占球腔总体积的
    2
    27
    ）；
    空心球腔壁对实心小球的作用力为
    4000πR3
    81
    ．
    点评：此题涉及到球的体积，密度公式的应用，物体浮沉条件的应用等多个知识点，难度很大，而且计算过程非常繁琐，稍一疏忽，就有可能出错，从而导致整个题错误，因此解答此题不仅要细心，而且要有耐心，总之，此题属于难题．
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    πr2ρgH-
    2
    3
    ρgπr3
    πr2ρgH-
    2
    3
    ρgπr3
    牛．若要把半球从水中拉起，则至少要用
    πr2ρgH-
    2
    3
    ρgπr3+mg+p0πr2
    πr2ρgH-
    2
    3
    ρgπr3+mg+p0πr2
    牛的竖直向上的拉力．

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